Упр.228 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

228. Решить неравенство:
     1. $$3^x>9$$;
     2. $$\left(\frac{1}{2}\right)^x>\frac{1}{4}$$;
     3. $$\left(\frac{1}{4}\right)^x<2$$;
     4. $$4^x<\frac{1}{2}$$;
     5. $$2^{3x}>-\frac{1}{2}$$;
     6. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1}\leq\frac{1}{9}$$.

1. $$3^x>9=3^2$$

   Так как $$3>1,$$ то сравниваем показатели:

   $$x>2.$$

2. $$\left(\frac12\right)^x>\frac14=\left(\frac12\right)^2$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то при сравнении показателей знак неравенства меняется:

   $$x<2.$$

3. $$\left(\frac14\right)^x<2$$

   Представим всё в виде степеней двойки:

   $$2^{-2x}<2^1$$

   Так как $$2>1,$$ получаем:

   $$-2x<1,$$

   $$x>-\frac12.$$

4. $$4^x<\frac12$$

   $$2^{2x}<2^{-1}$$

   Отсюда:

   $$2x<-1,$$

   $$x<-\frac12.$$

5. $$2^{3x}\ge \frac12$$

   $$2^{3x}\ge 2^{-1}$$

   Так как основание $$2>1,$$ сравниваем показатели:

   $$3x\ge -1,$$

   $$x\ge -\frac13.$$

6. $$\left(\frac13\right)^{x-1}\le \frac19$$

   $$\frac19=\left(\frac13\right)^2$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ то знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$x-1\ge 2,$$

   $$x\ge 3.$$

Ответ

1) $$x>2$$; 2) $$x<2$$; 3) $$x>-\frac12$$; 4) $$x<-\frac12$$; 5) $$x\ge -\frac13$$; 6) $$x\ge 3$$.