Упр.227 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что уравнение имеет только один корень $$x=1$$:

1. $$4^x+25^x=29$$;
2. $$7^x+18^x=25$$.

Проверим значение $$x=1$$:

$$4^1+25^1=4+25=29,$$

$$7^1+18^1=7+18=25.$$

Рассмотрим функции $$y=4^x+25^x$$ и $$y=7^x+18^x.$$

Так как при основаниях больше $$1$$ показательные функции $$4^x,\,25^x,\,7^x,\,18^x$$ возрастают, то и их суммы тоже возрастают.

Следовательно, каждая из этих функций может принимать одно и то же значение только при одном значении аргумента. Поскольку при $$x=1$$ равенства выполняются, то это и есть единственный корень каждого уравнения.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$.