Упр.226 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$
- $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$
- $$\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{2x}=12$$
- $$\sqrt[5]{x}\cdot 5x=25$$
1) $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$
Разделим обе части на $$4^x$$:
$$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{6}{4}\right)^x+9=0$$
Так как $$\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$ и $$\frac{6}{4}=\frac{3}{2},$$ получаем:
$$4\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+9=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x,$$ тогда
$$4y^2-13y+9=0$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25$$
$$y_1=\frac{13-5}{8}=1,\qquad y_2=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x=2$$
2) $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$
Разделим обе части на $$16^x$$:
$$16\left(\frac{9}{16}\right)^x-25\left(\frac{12}{16}\right)^x+9=0$$
Так как $$\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2$$ и $$\frac{12}{16}=\frac{3}{4},$$ получаем:
$$16\left(\frac{3}{4}\right)^{2x}-25\left(\frac{3}{4}\right)^x+9=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{3}{4}\right)^x,$$ тогда
$$16y^2-25y+9=0$$
$$D=25^2-4\cdot 16\cdot 9=49$$
$$y_1=\frac{25-7}{32}=\frac{9}{16},\qquad y_2=\frac{25+7}{32}=1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\frac{3}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \Rightarrow x=2$$
3) $$\sqrt[x]{2}\cdot \sqrt[2x]{3}=12$$
Перепишем через степени:
$$2^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{2x}}=12$$
Так как $$12=2^2\cdot 3,$$ удобно возвести обе части в степень $$2x$$:
$$\left(2^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{2x}}\right)^{2x}=12^{2x}$$
$$2^2\cdot 3=12^{2x}$$
$$12=12^{2x}$$
$$2x=1,\qquad x=\frac12$$
4) $$\sqrt[x]{5}\cdot 5^x=25$$
Перепишем через степени:
$$5^{\frac{1}{x}}\cdot 5^x=25=5^2$$
$$5^{\frac{1}{x}+x}=5^2$$
Следовательно,
$$\frac{1}{x}+x=2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
Ответ
1) $$x=0,\ 2$$; 2) $$x=0,\ 2$$; 3) $$x=\frac12$$; 4) $$x=1$$.
