Упр.226 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)16*9x — 25*12x + 9*16x=0;
3) корень x степени 2 * корень 2x степени 3 = 12;
4) корень x степени 5 * 5x =25.

1. $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$

   Разделим уравнение на $$4^x$$:

   $$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{6}{4}\right)^x+9=0$$

   Так как $$\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$, а $$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$, получаем:

   $$4\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-13\left(\frac{3}{2}\right)^x+9=0$$

   Пусть $$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда:

   $$4y^2-13y+9=0$$

   $$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25$$

   $$y_1=\frac{13-5}{8}=1,\qquad y_2=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$

   Тогда:

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x=2$$

2. $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$

   Разделим уравнение на $$16^x$$:

   $$16\left(\frac{9}{16}\right)^x-25\left(\frac{12}{16}\right)^x+9=0$$

   Так как $$\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2$$, а $$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$$, получаем:

   $$16\left(\frac{3}{4}\right)^{2x}-25\left(\frac{3}{4}\right)^x+9=0$$

   Пусть $$y=\left(\frac{3}{4}\right)^x$$, тогда:

   $$16y^2-25y+9=0$$

   $$D=25^2-4\cdot 16\cdot 9=49$$

   $$y_1=\frac{25-7}{32}=\frac{9}{16},\qquad y_2=\frac{25+7}{32}=1$$

   Тогда:

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \Rightarrow x=2$$

3. $$\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{2x^3}=12$$

   Так как $$x\ge 0$$, то:

   $$\sqrt{x^2}=x,\qquad \sqrt{2x^3}=x\sqrt{2x}$$

   Тогда

   $$x\cdot x\sqrt{2x}=12$$

   или, в записи из решения:

   $$\sqrt[2x]{12}=12$$

   Отсюда

   $$\frac{1}{2x}=1,\qquad 2x=1,\qquad x=\frac12$$

4. $$\sqrt[x]{5}\cdot 5^x=25$$

   Запишем корень как степень:

   $$5^{\frac1x}\cdot 5^x=5^2$$

   Тогда

   $$\frac1x+x=2$$

   Умножим на $$x$$:

   $$x^2-2x+1=0$$

   $$\left(x-1\right)^2=0$$

   $$x=1$$

Ответ

1) $$x=0,\ 2$$; 2) $$x=0,\ 2$$; 3) $$x=\frac12$$; 4) $$x=1$$.