Упр.225 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

225. Решить уравнение:
     
     1) $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$;
     
     2) $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$;
     
     3) $$2^x\cdot3^x=36^{x2}$$;
     
     4) $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$.

1) $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$

Представим левую часть как степень с основанием $$9$$:

$$3^{2x+6}=3^{2(x+3)}=(3^2)^{x+3}=9^{x+3}$$

Тогда

$$9^{x+3}=2^{x+3}$$

Делим обе части на $$2^{x+3}$$:

$$\left(\frac{9}{2}\right)^{x+3}=1$$

Так как основание $$\frac{9}{2}\neq 1$$, то

$$x+3=0$$

$$x=-3$$

2) $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$

Преобразуем правую часть:

$$4^{2x-4}=4^{2(x-2)}=(4^2)^{x-2}=16^{x-2}$$

Получаем

$$5^{x-2}=16^{x-2}$$

Делим обе части на $$16^{x-2}$$:

$$\left(\frac{5}{16}\right)^{x-2}=1$$

Следовательно,

$$x-2=0$$

$$x=2$$

3) $$2^x\cdot 3^x=36^{x^2}$$

Слева объединим степени с одинаковым показателем:

$$2^x\cdot 3^x=(2\cdot 3)^x=6^x$$

Тогда

$$6^x=36^{x^2}=(6^2)^{x^2}=6^{2x^2}$$

При одинаковых основаниях получаем:

$$x=2x^2$$

$$2x^2-x=0$$

$$x(2x-1)=0$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12$$

4) $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$

Запишем всё через основание $$3$$:

$$9^{-\sqrt{x-1}}=(3^2)^{-\sqrt{x-1}}=3^{-2\sqrt{x-1}}$$

$$\frac{1}{27}=3^{-3}$$

Тогда

$$3^{-2\sqrt{x-1}}=3^{-3}$$

Следовательно,

$$-2\sqrt{x-1}=-3$$

$$2\sqrt{x-1}=3$$

$$\sqrt{x-1}=\frac32$$

$$x-1=\frac94$$

$$x=\frac{13}{4}$$

Проверка области определения: $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$. Найденное значение подходит.

Ответ

1) $$x=-3$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=0,\ \frac12$$; 4) $$x=\frac{13}{4}$$.