Упр.224 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 224 При каких значениях х сумма чисел 2^(х-1), 2^(х-4) и 2^(х-2) равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; …? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 224 1111

Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5;\ 3{,}25;\ 1{,}625;\ldots$$

Её знаменатель:

$$q=\frac{3{,}25}{6{,}5}=0{,}5$$

Тогда сумма прогрессии равна:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{6{,}5}{1-0{,}5}=13$$

По условию:

$$2^{x-1}+2^{x-4}+2^{x-2}=13$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x\left(2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}\right)=13$$

$$2^x\left(\frac12+\frac1{16}+\frac14\right)=13$$

$$2^x\left(\frac{8}{16}+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}\right)=13$$

$$2^x\cdot\frac{13}{16}=13$$

$$2^x=16$$

$$2^x=2^4$$

Следовательно, $$x=4$$.

Ответ

$$x=4$$