Упр.224 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ сумма чисел $$2^{x-1}$$, $$2^{x-4}$$ и $$2^{x-2}$$ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5; 3{,}25; 1{,}625; \ldots$$?

Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5;\ 3{,}25;\ 1{,}625;\ldots$$

Её знаменатель:

$$q=\frac{3{,}25}{6{,}5}=0{,}5$$

Тогда сумма прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{6{,}5}{1-0{,}5}=13$$

По условию:

$$2^{x-1}+2^{x-4}+2^{x-2}=13$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x\left(2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}\right)=13$$

$$2^x\left(\frac12+\frac1{16}+\frac14\right)=13$$

$$2^x\left(\frac{8}{16}+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}\right)=13$$

$$2^x\cdot\frac{13}{16}=13$$

$$2^x=16$$

$$2^x=2^4$$

Следовательно, $$x=4$$.

Ответ: $$4$$