Упр.221 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2^{|x-2|}=2^{|x+4|}$$
2. $$1{,}5^{|5-x|}=1{,}5^{|x-1|}$$
3. $$3^{|x+1|}=3^{2-|x|}$$
4. $$3^{|x|}=3^{|2-x|-1}$$

1) $$2^{|x-2|}=2^{|x+4|}$$

Так как основания степеней одинаковые и больше $$1$$, то приравниваем показатели:

$$|x-2|=|x+4|$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-2)^2=(x+4)^2 \\\\ x^2-4x+4=x^2+8x+16 \\\\ -12x=12 \\\\ x=-1$$

Ответ: $$x=-1$$.

2) $$1{,}5^{|5-x|}=1{,}5^{|x-1|}$$

Приравниваем показатели:

$$|5-x|=|x-1|$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(5-x)^2=(x-1)^2 \\\\ 25-10x+x^2=x^2-2x+1 \\\\ -8x=-24 \\\\ x=3$$

Ответ: $$x=3$$.

3) $$3^{|x+1|}=3^{2-|x|}$$

Приравниваем показатели:

$$|x+1|=2-|x|$$

Перенесём модули в одну сторону:

$$|x+1|+|x|=2$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, $$|x+1|=x+1$$. Тогда

   $$x+1+x=2$$

   $$2x=1,\quad x=\frac12$$

2. Если $$-1\le x<0$$, то $$|x|=-x$$, $$|x+1|=x+1$$. Тогда

   $$x+1-x=2$$

   $$1=2$$

   Решений нет.

3. Если $$x<-1$$, то $$|x|=-x$$, $$|x+1|=-x-1$$. Тогда

   $$-x-1-x=2$$

   $$-2x=3,\quad x=-\frac32$$

Ответ: $$x=-\frac32,\ \frac12$$.

4) $$3^{|x|}=3^{|2-x|-1}$$

Приравниваем показатели:

$$|x|=|2-x|-1$$

Перенесём:

$$|x|-|2-x|=-1$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$0\le x\le 2$$, то $$|x|=x$$, $$|2-x|=2-x$$. Тогда

   $$x-(2-x)=-1$$

   $$2x=1,\quad x=\frac12$$

2. Если $$x>2$$, то $$|x|=x$$, $$|2-x|=x-2$$. Тогда

   $$x-(x-2)=-1$$

   $$2=-1$$

   Решений нет.

3. Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, $$|2-x|=2-x$$. Тогда

   $$-x-(2-x)=-1$$

   $$-2=-1$$

   Решений нет.

Ответ: $$x=\frac12$$.