Упр.220 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(0{,}5\right)^{x^2-4x+3}=\left(0{,}5\right)^{2x^2+x+3}$$
2. $$\left(0{,}1\right)^{3+2x}=\left(0{,}1\right)^{2-x}$$
3. $$3^{\sqrt{x-6}}=3x$$
4. $$\left(\frac{1}{3}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{2-x}}$$

1. Так как основания степеней одинаковые и $$0{,}5 \neq 1,$$ приравниваем показатели:

   $$x^2-4x+3=2x^2+x+3$$

   $$x^2+5x=0$$

   $$x(x+5)=0$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=-5.$$

2. Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:

   $$3+2x=2-x^2$$

   $$x^2+2x+1=0$$

   $$\left(x+1\right)^2=0$$

   Следовательно, $$x=-1.$$

3. Приравниваем показатели:

   $$\sqrt{x-6}=x$$

   Возведём в квадрат:

   $$x-6=x^2$$

   $$x^2-x+6=0$$

   Дискриминант:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24=-23.$$

   Так как $$D<0,$$ действительных корней нет.

4. Приравниваем показатели:

   $$x=\sqrt{2-x}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2=2-x$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0$$

   Получаем $$x=1$$ или $$x=-2.$$

   Проверим область допустимых значений: $$2-x\ge 0,$$ значит $$x\le 2.$$ Оба корня этому условию удовлетворяют, но из уравнения $$x=\sqrt{2-x}$$ следует, что $$x\ge 0.$$ Поэтому $$x=-2$$ не подходит.

   Остаётся $$x=1.$$

Ответ: 1) $$x=0,-5$$; 2) $$x=-1$$; 3) решений нет; 4) $$x=1$$.