Упр.220 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (0,1)^(3+2x) = (0,1)^(2-x);
3) 3^(корень (x-6))=3x
4) (1/3)x = (1/3)^(корень (2-x)).

1. $$\left(0{,}5\right)^{x^2-4x+3}=\left(0{,}5\right)^{2x^2+x+3}$$

   Так как основания равны и $$0{,}5 \neq 1$$, приравниваем показатели:

   $$x^2-4x+3=2x^2+x+3$$

   $$x^2+5x=0$$

   $$x(x+5)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-5$$

2. $$\left(0{,}1\right)^{3+2x}=\left(0{,}1\right)^{2-x^2}$$

   Приравниваем показатели:

   $$3+2x=2-x^2$$

   $$x^2+2x+1=0$$

   $$\left(x+1\right)^2=0$$

   $$x=-1$$

3. $$3^{\sqrt{x-6}}=3^x$$

   Приравниваем показатели:

   $$\sqrt{x-6}=x$$

   Область определения: $$x-6 \ge 0$$, то есть $$x \ge 6$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x-6=x^2$$

   $$x^2-x+6=0$$

   $$D=1-24=-23<0$$

   Действительных корней нет.

4. $$\left(\frac13\right)^x=\left(\frac13\right)^{\sqrt{2-x}}$$

   Приравниваем показатели:

   $$x=\sqrt{2-x}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то $$x \ge 0$$. Также нужно $$2-x \ge 0$$, значит $$x \le 2$$.

   Возведём в квадрат:

   $$x^2=2-x$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=-2$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=0,\,-5$$; 2) $$x=-1$$; 3) решений нет; 4) $$x=1$$.