Упр.219 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$7^{x-2}=3^{2-x}$$
2. $$2^{x-3}=3^{3-x}$$
3. $$3^{(x+2)/4}=5^{x+2}$$
4. $$4^{(x-3)/2}=3^{2(x-3)}$$

1) $$7^{x-2}=3^{2-x}$$

Заметим, что $$2-x=-(x-2)$$, тогда

$$3^{2-x}=3^{-(x-2)}=\left(\frac13\right)^{x-2}.$$

Получаем

$$7^{x-2}=\left(\frac13\right)^{x-2}.$$

Если $$x-2=0,$$ то равенство верно. При $$x-2\neq 0$$ левая и правая части не могут быть равны, так как основания различны. Значит,

$$x-2=0,\quad x=2.$$

Ответ: $$2$$.

2) $$2^{x-3}=3^{3-x}$$

Так как $$3-x=-(x-3),$$ то

$$3^{3-x}=3^{-(x-3)}=\left(\frac13\right)^{x-3}.$$

Тогда

$$2^{x-3}=\left(\frac13\right)^{x-3}.$$

Следовательно,

$$x-3=0,\quad x=3.$$

Ответ: $$3$$.

3) $$3^{\frac{x+2}{4}}=5^{x+2}$$

Перепишем левую часть как

$$\left(\sqrt[4]{3}\right)^{x+2}=5^{x+2}.$$

Тогда

$$\left(\frac{\sqrt[4]{3}}{5}\right)^{x+2}=1.$$

Основание не равно $$1,$$ значит,

$$x+2=0,\quad x=-2.$$

Ответ: $$-2$$.

4) $$4^{\frac{x-3}{2}}=3^{2(x-3)}$$

Преобразуем степени:

$$4^{\frac{x-3}{2}}=\left(\sqrt{4}\right)^{x-3}=2^{x-3},$$

$$3^{2(x-3)}=\left(3^2\right)^{x-3}=9^{x-3}.$$

Получаем

$$2^{x-3}=9^{x-3}.$$

Значит,

$$x-3=0,\quad x=3.$$

Ответ: $$3$$.