Упр.21 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:
   
   1) $$b_n=3(-2)^n$$;
   
   2) $$b_n=-5\cdot4^n$$;
   
   3) $$b_n=8\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$;
   
   4) $$b_n=3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $$|q|<1$$, где $$q$$ — её знаменатель.

1. $$b_n=3\cdot(-2)^n$$

   $$b_{n+1}=3\cdot(-2)^{n+1}=3\cdot(-2)^n\cdot(-2)$$
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot(-2)^n\cdot(-2)}{3\cdot(-2)^n}=-2$$
   $$|q|=2>1$$
   Следовательно, последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

2. $$b_n=-5\cdot4^n$$

   $$b_{n+1}=-5\cdot4^{n+1}=-5\cdot4^n\cdot4$$
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-5\cdot4^n\cdot4}{-5\cdot4^n}=4$$
   $$|q|=4>1$$
   Следовательно, последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

3. $$b_n=8\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}$$

   $$b_{n+1}=8\cdot\left(-\frac13\right)^n$$
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{8\cdot\left(-\frac13\right)^n}{8\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}}=-\frac13$$
   $$|q|=\frac13<1$$
   Следовательно, последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

4. $$b_n=3\cdot\left(-\frac12\right)^{n-1}$$

   $$b_{n+1}=3\cdot\left(-\frac12\right)^n$$
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot\left(-\frac12\right)^n}{3\cdot\left(-\frac12\right)^{n-1}}=-\frac12$$
   $$|q|=\frac12<1$$
   Следовательно, последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: 1) не является; 2) не является; 3) является; 4) является.