Упр.205 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции: 1) $$y=2^{|x|}$$; 2) $$y=\frac{1}{3}|x|$$; 3) $$y=|3x-2|$$; 4) $$y=2-3x$$.
1) Для функции $$y=2^{|x|}$$ имеем $$y(-x)=2^{|-x|}=2^{|x|}=y(x),$$ значит, функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$.
При $$x\ge 0$$ получаем $$y=2^x.$$ Тогда:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \end{array}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$ Множество значений: $$y\ge 1.$$ График проходит через точки $$\left(0;1\right), \left(1;2\right), \left(2;4\right)$$ и симметричен относительно оси $$Oy$$.
2) Для функции $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}$$ также имеем чётность:
$$y(-x)=\left(\frac13\right)^{|-x|}=\left(\frac13\right)^{|x|}=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ получаем $$y=\left(\frac13\right)^x.$$ Тогда:
$$\begin{array}{c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & \frac13 \end{array}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$ Множество значений: $$0<y\le 1.$$ График проходит через точки $$\left(0;1\right), \left(1;\frac13\right)$$ и симметричен относительно оси $$Oy$$.
3) Построим график функции $$y=|3x-2|.$$ Сначала рассмотрим выражение под модулем:
$$3x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac23.$$
Значит,
$$y= \begin{cases} 2-3x, & x<\frac23,\\ 3x-2, & x\ge \frac23. \end{cases}$$
График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(\frac23;0\right).$$ Для построения можно взять точки:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \frac23 & 1 \\ \hline y & 2 & 0 & 1 \end{array}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$ Множество значений: $$y\ge 0.$$
4) Функция $$y=2-3x$$ — линейная. Это прямая с угловым коэффициентом $$-3$$ и ординатой пересечения с осью $$Oy$$, равной $$2.$$
Для построения достаточно двух точек:
$$\begin{array}{c|cc} x & 0 & 1 \\ \hline y & 2 & -1 \end{array}$$
Прямая проходит через точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(1;-1\right).$$
Ответ
Графики функций построены по указанным точкам и свойствам: для первых двух — чётные графики, симметричные относительно оси $$Oy$$; для третьей — график $$y=|3x-2|$$ с вершиной $$\left(\frac23;0\right)$$; для четвёртой — прямая $$y=2-3x$$.
