Упр.20 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) $$0,(5)$$; 2) $$0,(8)$$; 3) $$0,(32)$$; 4) $$0,2(5)$$.

1) $$0,(5)=0,5+0,05+0,005+\dots$$

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где $$b_1=0,5$$, $$q=0,1$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}.$$

2) $$0,(8)=0,8+0,08+0,008+\dots$$

Здесь $$b_1=0,8$$, $$q=0,1$$, значит

$$S=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}.$$

3) $$0,(32)=0,32+0,0032+0,000032+\dots$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=0,32$$ и знаменателем $$q=0,01$$. Тогда

$$S=\frac{0,32}{1-0,01}=\frac{0,32}{0,99}=\frac{32}{99}.$$

4) $$0,2(5)=0,25+0,005+0,0005+\dots$$

Представим число как сумму $$0,2$$ и бесконечной геометрической прогрессии:

$$0,2(5)=0,2+\left(0,05+0,005+0,0005+\dots\right).$$

Для прогрессии $$b_1=0,05$$, $$q=0,1$$, поэтому

$$S=0,2+\frac{0,05}{1-0,1}=0,2+\frac{0,05}{0,9}=0,2+\frac{1}{18}=\frac{23}{90}.$$

Ответ

1) $$\frac{5}{9}$$; 2) $$\frac{8}{9}$$; 3) $$\frac{32}{99}$$; 4) $$\frac{23}{90}$$.