Упр.191 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При различных значениях $$a$$ решить неравенство:
   1) $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}2) $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}<a.$$

Область определения: $$x-2\ge 0,\quad x-6\ge 0,$$ значит $$x\ge 6.$$

Левая часть при $$x\ge 6$$ возрастает, поэтому её наименьшее значение достигается при $$x=6$$:

$$\sqrt{6-2}+\sqrt{6-6}=2.$$

Если $$a\le 2,$$ то решений нет. Если $$a>2,$$ то можно возвести неравенство в квадрат:

$$\begin{aligned} \sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}<a \\ x-2+x-6+2\sqrt{(x-2)(x-6)}<a^2 \\ 2x-8+2\sqrt{x^2-8x+12}<a^2 \\ 2\sqrt{x^2-8x+12}<a^2-2x+8. \end{aligned}$$

Так как $$x\ge 6,$$ правая часть неотрицательна, и после повторного возведения в квадрат получаем:

$$\begin{aligned} 4(x^2-8x+12)<(a^2-2x+8)^2 \\ 4x^2-32x+48&

Сокращая одинаковые слагаемые, имеем:

$$0<a^4-4a^2x+16a^2+16,$$

откуда

$$x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

С учётом области определения:

$$6\le x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

2) Рассмотрим неравенство $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0.$$

Область определения:

$$a^2-x^2\ge 0,\quad |x|\le |a|.$$

Перенесём:

$$\sqrt{a^2-x^2}>-2x.$$

Если $$x>0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x>0$$ из области определения.

Если $$x\le 0,$$ можно возвести в квадрат:

$$\begin{aligned} a^2-x^2&>4x^2 \\ a^2&>5x^2 \\ x^2&<\frac{a^2}{5}. \end{aligned}$$

Следовательно, при $$a\ne 0$$ получаем

$$-\frac{|a|}{\sqrt5}<x\le |a|.$$

При $$a=0$$ область определения даёт только $$x=0,$$ но тогда $$2x+\sqrt{a^2-x^2}=0,$$ что не подходит.

Ответ

1) Если $$a\le 2,$$ решений нет; если $$a>2,$$ то $$6\le x<\dfrac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

2) Если $$a=0,$$ решений нет; если $$a\ne 0,$$ то $$-\dfrac{|a|}{\sqrt5}<x\le |a|.$$