Упр.190 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

• $$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\leq 0$$
• 2) $$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac{1}{2}$$
• 3) $$\sqrt{3+x}>|x-3|$$
• 4) $$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}$$

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\le 0.$$

Так как знаменатель должен быть положительным, получаем систему:

$$\begin{cases} x^2-13x+40\le 0,\\ 19x-x^2-78>0. \end{cases}$$

Разложим на множители:

$$\begin{cases} (x-5)(x-8)\le 0,\\ (x-6)(x-13)<0. \end{cases}$$

Отсюда:

$$5\le x\le 8,\qquad 6<x<13.$$

Пересечение этих промежутков:

$$6<x\le 8.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac12.$$

Если $$x+4<0,$$ то левая часть отрицательна, а правая положительна, значит неравенство выполняется при всех значениях, для которых выражение имеет смысл. Найдём область определения:

$$2x^2+7x-4\ge 0.$$

$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4),$$

поэтому

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

При $$x+4>0$$ умножим неравенство на $$2(x+4)$$:

$$2\sqrt{2x^2+7x-4}<x+4.$$

Возведём в квадрат:

$$4(2x^2+7x-4)<(x+4)^2,$$

$$8x^2+28x-16<x^2+8x+16,$$

$$7x^2+20x-32<0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена:

$$x=-4,\qquad x=\frac87.$$

Значит,

$$-4<x<\frac87.$$

С учётом условия $$x+4>0$$ и области определения получаем:

$$\frac12\le x<\frac87.$$

Теперь объединяем с случаем $$x<-4$$:

$$x<-4 \quad \text{или} \quad \frac12\le x<\frac87.$$

3) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3+x}>|x-3|.$$

Область определения: $$x\ge -3.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3+x>(x-3)^2.$$

$$3+x>x^2-6x+9,$$

$$x^2-7x+6<0.$$

$$(x-1)(x-6)<0,$$

откуда

$$1<x<6.$$

Это множество удовлетворяет и области определения.

4) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}.$$

Область определения:

$$\begin{cases} 3-x\ge 0,\\ 7+x\ge 0,\\ 10+x\ge 0. \end{cases}$$

То есть $$-7\le x\le 3.$$

Перенесём всё в одну сторону и возведём в квадрат:

$$3-x<7+x+10+x+2\sqrt{(7+x)(10+x)}.$$

$$-14-3x<2\sqrt{x^2+17x+70}.$$

Если $$-14-3x\le 0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Это равносильно

$$x\ge -\frac{14}{3}.$$

С учётом области определения получаем

$$-\frac{14}{3}\le x\le 3.$$

Если же $$-14-3x>0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:

$$(-14-3x)^2<4(x^2+17x+70),$$

$$5x^2+16x-84<0.$$

$$(x+6)(5x-14)<0,$$

откуда

$$-6<x<\frac{14}{5}.$$

Пересечение с условием $$x<-\frac{14}{3}$$ даёт пустое множество, поэтому остаётся только

$$-\frac{14}{3}\le x\le 3.$$

Ответ

1) $$6<x\le 8$$

2) $$x<-4$$ или $$\frac12\le x<\frac87$$

3) $$1<x<6$$

4) $$-\frac{14}{3}\le x\le 3$$