Упр.189 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 189. Решить неравенство:
   1) $$\sqrt{x+1} 2) $$\sqrt{1-x}>x+1$$;
   3) $$\sqrt{3x-2}>x-2$$;
   4) $$\sqrt{2x+1}\leq x+1$$.

1) $$\sqrt{x+1}<x-1$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

$$\begin{aligned} x+1 < (x-1)^2,\\ x-1 > 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$x+1 < x^2-2x+1 \\ x^2-3x>0 \\ x(x-3)>0.$$

С учётом условия $$x>1$$ получаем:

$$x>3.$$

2) $$\sqrt{1-x}>x+1$$

Тогда должно выполняться:

$$\begin{aligned} 1-x > (x+1)^2,\\ 1-x > 0. \end{aligned}$$

Но

$$1-x > x^2+2x+1 \\ x^2+3x<0 \\ x(x+3)<0.$$

Отсюда $$-3<x<0$$. Это и есть решение, так как при этих значениях условие $$1-x>0$$ выполняется.

Следовательно, $$x<0.$$

3) $$\sqrt{3x-2}>x-2$$

Имеем:

$$\begin{aligned} 3x-2 > (x-2)^2,\\ 3x-2 > 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$3x-2 > x^2-4x+4 \\ x^2-7x+6<0 \\ (x-1)(x-6)<0.$$

Отсюда $$1<x<6$$, а из условия $$3x-2>0$$ получаем $$x>\frac23$$.

Кроме того, при $$\frac23<x\le 2$$ правая часть $$x-2\le 0$$, и неравенство выполняется автоматически. В итоге:

$$\frac23<x<6.$$

4) $$\sqrt{2x+1}\le x+1$$

Тогда должно быть:

$$\begin{aligned} 2x+1 <= (x+1)^2,\\ 2x+1 >= 0. \end{aligned}$$

Но

$$2x+1 \le x^2+2x+1 \\ x^2\ge 0,$$

что верно при любом $$x$$. Остаётся только условие существования корня:

$$2x+1\ge 0 \\ x\ge -\frac12.$$

Значит, $$x\ge -\frac12.$$

Ответ

1) $$x>3$$; 2) $$x<0$$; 3) $$\frac23<x<6$$; 4) $$x\ge -\frac12$$.