Упр.189 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

189. 1) корень (x+1) < x-1; 2) корень (1-x) > x+1;
3) корень (3x-2) > x-2;
4) корень (2x+1) < = x+1.

1. $$\sqrt{x+1}<x-1$$

   Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

   $$ \begin{cases} x+1<(x-1)^2,\\ x-1>0 \end{cases} $$

   $$ x+1<x^2-2x+1 $$

   $$ x^2-3x>0 $$

   $$ x(x-3)>0 $$

   С учётом условия $$x>1$$ получаем:

   $$x>3$$

2. $$\sqrt{1-x}>x+1$$

   Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

   $$ \begin{cases} 1-x>(x+1)^2,\\ x+1>0 \end{cases} $$

   $$ 1-x>x^2+2x+1 $$

   $$ x^2+3x<0 $$

   $$ x(x+3)<0 $$

   $$ -3<x<0 $$

   Это решение удовлетворяет условию $$x<1$$, значит:

   $$x<0$$

3. $$\sqrt{3x-2}>x-2$$

   Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

   $$ \begin{cases} 3x-2>(x-2)^2,\\ x-2>0 \end{cases} $$

   $$ 3x-2>x^2-4x+4 $$

   $$ x^2-7x+6<0 $$

   $$ (x-1)(x-6)<0 $$

   $$ 1<x<6 $$

   С учётом условия $$x>2$$ получаем:

   $$ 2<x<6 $$

   Но при $$2<x\le 2$$ условие не выполняется, поэтому окончательно:

   $$ \frac{2}{3}<x<6 $$

4. $$\sqrt{2x+1}\le x+1$$

   Возведём обе части в квадрат, учитывая область определения и неотрицательность правой части:

   $$ \begin{cases} 2x+1\le (x+1)^2,\\ 2x+1\ge 0,\\ x+1\ge 0 \end{cases} $$

   $$ 2x+1\le x^2+2x+1 $$

   $$ 0\le x^2 $$

   Это верно при любом $$x$$, а из области определения остаётся:

   $$ x\ge -\frac12 $$

Ответ

1) $$x>3$$; 2) $$x<0$$; 3) $$\frac{2}{3}<x<6$$; 4) $$x\ge -\frac12$$.