Упр.185 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Являются ли заданные функции взаимно обратными:
   
   1) $$y=\frac{10-3x}{x-4}$$ и $$y=\frac{4x+10}{x+3}$$;
   
   2) $$y=\frac{3x-6}{3x-1}$$ и $$y=\frac{6-x}{3-3x}$$;
   
   3) $$y=5(1-x)^{-1}$$ и $$y=(5-x)x^{-1}$$;
   
   4) $$y=\frac{2-x}{2+x}$$ и $$y=\frac{2(x-1)}{1+x}$$.

1. Найдём функцию, обратную к первой:

   $$y=\frac{10-3x}{x-4}$$

   Поменяем местами $$x$$ и $$y$$ и выразим $$y$$:

   $$x=\frac{10-3y}{y-4}$$

   $$x(y-4)=10-3y$$

   $$xy-4x=10-3y$$

   $$xy+3y=10+4x$$

   $$y(x+3)=4x+10$$

   $$y=\frac{4x+10}{x+3}$$

   Это вторая функция, значит, функции взаимно обратные.

2. Найдём функцию, обратную к первой:

   $$y=\frac{3x-6}{3x-1}$$

   Поменяем местами $$x$$ и $$y$$ и выразим $$y$$:

   $$x=\frac{3y-6}{3y-1}$$

   $$x(3y-1)=3y-6$$

   $$3xy-x=3y-6$$

   $$3xy-3y=x-6$$

   $$y(3x-3)=x-6$$

   $$y=\frac{x-6}{3x-3}=\frac{6-x}{3-3x}$$

   Это вторая функция, значит, функции взаимно обратные.

3. Найдём функцию, обратную к первой:

   $$y=5(1-x)^{-1}=\frac{5}{1-x}$$

   Поменяем местами $$x$$ и $$y$$ и выразим $$y$$:

   $$x=\frac{5}{1-y}$$

   $$x(1-y)=5$$

   $$x-xy=5$$

   $$xy=x-5$$

   $$y=\frac{x-5}{x}$$

   Это не совпадает со второй функцией $$y=(5-x)\cdot x^{-1}=\frac{5-x}{x}$$, значит, функции не взаимно обратные.

4. Найдём функцию, обратную к первой:

   $$y=\frac{2-x}{2+x}$$

   Поменяем местами $$x$$ и $$y$$ и выразим $$y$$:

   $$x=\frac{2-y}{2+y}$$

   $$x(2+y)=2-y$$

   $$2x+xy=2-y$$

   $$xy+y=2-2x$$

   $$y(x+1)=2(1-x)$$

   $$y=\frac{2(1-x)}{1+x}$$

   Это не совпадает со второй функцией $$y=\frac{2(x-1)}{1+x}$$, значит, функции не взаимно обратные.

Ответ: 1) являются; 2) являются; 3) не являются; 4) не являются.