Упр.184 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Изобразить схематически на одном рисунке графики функций: 1) $$y=\sqrt{x^5}$$, $$y=x\sqrt{x}$$; 2) $$y=\sqrt[5]{x}$$, $$y=x^{-5}$$.
1) $$y=\sqrt{x^5} \quad \text{и} \quad y=x\sqrt{x}$$
Преобразуем функции:
$$y=\sqrt{x^5}=x^{5/2}, \qquad y=x\sqrt{x}=x^{3/2}.$$
Для обеих функций:
- область определения: $$x\ge 0$$;
- множество значений: $$y\ge 0$$;
- функции возрастают на своей области определения.
Так как при $$x>1$$ имеем $$x^{5/2}>x^{3/2}$$, а при $$0<x<1$$ наоборот $$x^{5/2}<x^{3/2}$$, то графики пересекаются в точках $$\,(0,0)\,$$ и $$\,(1,1)\,.$$
Схематически на одном рисунке это две возрастающие кривые, выходящие из начала координат и проходящие через точку $$\,(1,1)\,,$$ причём график $$y=x^{5/2}$$ расположен выше графика $$y=x^{3/2}$$ при $$x>1$$.
2) $$y=\sqrt[5]{x} \quad \text{и} \quad y=x^{-5}$$
Преобразуем:
$$y=\sqrt[5]{x}=x^{1/5}.$$
Для функции $$y=x^{1/5}$$:
- область определения: $$x\in \mathbb{R}$$;
- множество значений: $$y\in \mathbb{R}$$;
- функция возрастает на всей числовой прямой.
Для функции $$y=x^{-5}=\dfrac{1}{x^5}$$:
- область определения: $$x\ne 0$$;
- множество значений: $$y\ne 0$$;
- функция убывает;
- функция нечётная.
График $$y=x^{-5}$$ имеет две ветви: в I четверти он убывает от $$+\infty$$ к $$0$$, а в III четверти — от $$0$$ к $$-\infty$$. График $$y=x^{1/5}$$ проходит через точки $$(-1,-1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$ и возрастает.
Ответ
Схематически на одном рисунке: в пункте 1 — две возрастающие кривые $$y=x^{5/2}$$ и $$y=x^{3/2}$$, пересекающиеся в точках $$(0,0)$$ и $$(1,1)$$; в пункте 2 — графики $$y=x^{1/5}$$ и $$y=x^{-5}$$, где первый возрастает на всей $$\mathbb{R}$$, а второй имеет две ветви в I и III четвертях и асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$.
