Упр.183 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение:
- 1) $$\sqrt{3-x}=2$$; 2) $$\sqrt{3x+1}=8$$; 3) $$\sqrt{3-4x}=2x$$; 4) $$\sqrt{5x-1+3x^2}=3x$$; 5) $$\sqrt[3]{x^2-17}=2$$; 6) $$\sqrt[4]{x^2+17}=3$$.
1) $$\sqrt{3-x}=2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3-x=4$$
$$-x=1$$
$$x=-1$$
Проверка области допустимых значений:
$$3-x\ge 0,\quad x\le 3$$
Полученное значение подходит.
2) $$\sqrt{3x+1}=8$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+1=64$$
$$3x=63$$
$$x=21$$
Проверка области допустимых значений:
$$3x+1\ge 0,\quad x\ge -\frac13$$
Полученное значение подходит.
3) $$\sqrt{3-4x}=2x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3-4x=4x^2$$
$$4x^2+4x-3=0$$
Найдём корни квадратного уравнения:
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64$$
$$x=\frac{-4\pm 8}{2\cdot 4}$$
$$x_1=\frac{4}{8}=\frac12,\quad x_2=\frac{-12}{8}=-\frac32$$
Проверим область допустимых значений:
$$3-4x\ge 0,\quad x\le \frac34$$
Кроме того, правая часть должна быть неотрицательной:
$$2x\ge 0,\quad x\ge 0$$
Подходит только $$x=\frac12$$.
4) $$\sqrt{5x-1+3x^2}=3x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5x-1+3x^2=9x^2$$
$$6x^2-5x+1=0$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$$
$$x=\frac{5\pm 1}{2\cdot 6}$$
$$x_1=\frac{4}{12}=\frac13,\quad x_2=\frac{6}{12}=\frac12$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
5) $$\sqrt[3]{x^2-17}=2$$
Возведём обе части в куб:
$$x^2-17=8$$
$$x^2=25$$
$$x=\pm 5$$
6) $$\sqrt[4]{x^2+17}=3$$
Возведём обе части в четвёртую степень:
$$x^2+17=81$$
$$x^2=64$$
$$x=\pm 8$$
Так как корень четвёртой степени неотрицателен, оба значения подходят.
Ответ
1) $$x=-1$$; 2) $$x=21$$; 3) $$x=\frac12$$; 4) $$x=\frac13,\ \frac12$$; 5) $$x=\pm 5$$; 6) $$x=\pm 8$$.
