Упр.182 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Являются ли равносильными уравнения:
   1) $$2^{x^2+3x}=2^2$$ и $$x^2+3x=2$$;
   2) $$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{2}$$ и $$x^2+3x=2$$;
   3) $$\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x}$$ и $$x+18=2-x$$?

1) Так как функция $$y=2^x$$ взаимно однозначна, то из равенства

$$2^{x^2+3x}=2^2$$

следует

$$x^2+3x=2.$$

Значит, уравнения равносильны.

2) Из уравнения

$$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{2}$$

можно возвести обе части в квадрат, но при этом нужно учитывать область определения: $$x^2+3x\ge 0.$$

После возведения в квадрат получаем

$$x^2+3x=2.$$

Это уравнение имеет решения, и оба они удовлетворяют условию $$x^2+3x\ge 0$$, значит, уравнения равносильны.

3) Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ взаимно однозначна на всей числовой прямой, поэтому из равенства

$$\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x}$$

следует

$$x+18=2-x.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: во всех трёх случаях уравнения равносильны.