Упр.180 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y = 0,5х + 3;
2) у =2/(x-3);
3) у = (х + 2)3;
4) y = х3-1.

1. $$y=0{,}5x+3$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=0{,}5y+3$$

   $$0{,}5y=x-3$$

   $$y=2x-6$$

   Так как исходная функция линейная, то

   $$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$

2. $$y=\frac{2}{x-3}$$

   Область определения исходной функции:

   $$x-3\ne 0,\quad x\ne 3.$$

   Множество значений:

   $$y\ne 0.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=\frac{2}{y-3}$$

   $$x(y-3)=2$$

   $$xy-3x=2$$

   $$xy=2+3x$$

   $$y=\frac{2}{x}+3$$

   Для обратной функции:

   $$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \quad E=\mathbb{R}\setminus\{3\}.$$

3. $$y=(x+2)^3$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=(y+2)^3$$

   $$\sqrt[3]{x}=y+2$$

   $$y=\sqrt[3]{x}-2$$

   Так как кубическая функция определена при всех действительных значениях, то

   $$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$

4. $$y=x^3-1$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=y^3-1$$

   $$x+1=y^3$$

   $$y=\sqrt[3]{x+1}$$

   Следовательно,

   $$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$

Ответ

1. $$y=2x-6,\quad D=\mathbb{R},\quad E=\mathbb{R}.$$
2. $$y=\frac{2}{x}+3,\quad D=\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad E=\mathbb{R}\setminus\{3\}.$$
3. $$y=\sqrt[3]{x}-2,\quad D=\mathbb{R},\quad E=\mathbb{R}.$$
4. $$y=\sqrt[3]{x+1},\quad D=\mathbb{R},\quad E=\mathbb{R}.$$