Упр.180 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений:
1) $$y=0{,}5x+3$$;
2) $$y=\frac{2}{x-3}$$;
3) $$y=(x+2)^3$$;
4) $$y=x^3-1$$.
$$y=0{,}5x+3$$
Найдём обратную функцию, выразив $$x$$ через $$y$$:
$$0{,}5x=y-3$$
$$x=2(y-3)=2y-6$$
Меняем местами $$x$$ и $$y$$:
$$y=2x-6$$
Так как исходная функция линейная, то
$$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$
$$y=\frac{2}{x-3}$$
Область определения исходной функции:
$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3.$$
Множество значений:
$$y\ne 0.$$
Найдём обратную функцию:
$$x=\frac{2}{y-3}$$
$$x(y-3)=2$$
$$xy-3x=2$$
$$y=\frac{2}{x}+3$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=\frac{2}{x}+3$$
Для неё:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \quad E=\mathbb{R}\setminus\{3\}.$$
$$y=(x+2)^3$$
Найдём обратную функцию:
$$x=(y+2)^3$$
$$\sqrt[3]{x}=y+2$$
$$y=\sqrt[3]{x}-2$$
Так как кубическая функция определена при всех действительных значениях, то
$$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$
$$y=x^3-1$$
Найдём обратную функцию:
$$x=y^3-1$$
$$x+1=y^3$$
$$y=\sqrt[3]{x+1}$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=\sqrt[3]{x+1}$$
И для исходной, и для обратной функции:
$$D=\mathbb{R}, \quad E=\mathbb{R}.$$
Ответ: 1) $$y=2x-6$$, $$D=\mathbb{R}$$, $$E=\mathbb{R}$$; 2) $$y=\frac{2}{x}+3$$, $$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$, $$E=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$; 3) $$y=\sqrt[3]{x}-2$$, $$D=\mathbb{R}$$, $$E=\mathbb{R}$$; 4) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$, $$D=\mathbb{R}$$, $$E=\mathbb{R}$$.
