Упр.18 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1. $$q=-1/2,\ b_1=1/8$$;
2. $$q=1/3,\ b_5=1/81$$;
3. $$q=-1/3,\ b_1=9$$;
4. $$q=-1/2,\ b_4=1/8$$.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad |q|<1.$$

1. $$q=-\frac12,\quad b_1=\frac18.$$

   $$S=\frac{\frac18}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{\frac18}{\frac32}=\frac18\cdot\frac23=\frac1{12}.$$

2. $$q=\frac13,\quad b_5=\frac1{81}.$$

   Найдём первый член:

   $$b_5=b_1q^4,$$

   $$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac1{81}}{\left(\frac13\right)^4}=\frac{\frac1{81}}{\frac1{81}}=1.$$

   Тогда

   $$S=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac23}=\frac32=1{,}5.$$

3. $$q=-\frac13,\quad b_1=9.$$

   $$S=\frac{9}{1-\left(-\frac13\right)}=\frac{9}{\frac43}=9\cdot\frac34=\frac{27}{4}=6{,}75.$$

4. $$q=-\frac12,\quad b_4=\frac18.$$

   Найдём первый член:

   $$b_4=b_1q^3,$$

   $$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac18}{\left(-\frac12\right)^3}=\frac{\frac18}{-\frac18}=-1.$$

   Тогда

   $$S=\frac{-1}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23.$$

Ответ: 1) $$\frac1{12}$$; 2) $$1{,}5$$; 3) $$6{,}75$$; 4) $$-\frac23$$.