Упр.179 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции: 1) $$y=\sqrt[3]{1-x}$$; 2) $$y=\sqrt[6]{2-x^2}$$; 3) $$y=(3x^2+1)^{-2}$$; 4) $$y=\sqrt{x^2-x-2}$$.

1) Для функции $$y=\sqrt[3]{1-x}$$ ограничений нет, так как корень нечётной степени определён при любых значениях подкоренного выражения.

Следовательно, область определения:

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

2) Для функции $$y=\sqrt[6]{2-x^2}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2-x^2\ge 0,$$

$$x^2\le 2,$$

$$-\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

Следовательно,

$$D(y)=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

3) Для функции $$y=(3x^2+1)^{-2}=\frac{1}{(3x^2+1)^2}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$3x^2+1\ne 0.$$

Но $$3x^2+1>0$$ при любом $$x\in\mathbb R,$$ значит, ограничений нет.

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

4) Для функции $$y=\sqrt{x^2-x-2}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2-x-2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Тогда

$$(x-2)(x+1)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$