Упр.177 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Расположить числа в порядке возрастания:
   1) $$0{,}3^\pi,\ 0{,}3^{0{,}5},\ 0{,}3^{\frac{2}{3}},\ 0{,}3^{3{,}1415}$$;
   2) $$\left(\sqrt{2}\right)^\pi,\ 1{,}9^\pi,\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi,\ \pi^\pi$$;
   3) $$5^{-2},\ 5^{-0{,}7},\ 5^{\frac{1}{3}},\ \left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1}$$;
   4) $$0{,}5^{-\frac{2}{3}},\ 1{,}3^{-\frac{2}{3}},\ \pi^{-\frac{2}{3}},\ \left(\sqrt{2}\right)^{-\frac{2}{3}}$$.

1) Так как при основании $$0{,}3<1$$ большему показателю соответствует меньшее значение, сравним показатели:

$$0{,}5<\frac{2}{3}<3{,}1415<\pi.$$

Следовательно,

$$0{,}3^\pi<0{,}3^{3{,}1415}<0{,}3^{\frac{2}{3}}<0{,}3^{0{,}5}.$$

2) Здесь основание больше 1, значит большему показателю соответствует большее значение. Сравним показатели:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}<1{,}9<\pi.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi<(\sqrt{2})^\pi<1{,}9^\pi<\pi^\pi.$$

3) Представим числа с одинаковым основанием:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1}=5^{-2{,}1}, \qquad 5^{-2} = 5^{-2}, \qquad 5^{-0{,}7}=5^{-0{,}7}, \qquad 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}.$$

Так как $$-2{,}1<-2<-0{,}7<\frac{1}{3},$$ а основание $$5>1,$$ получаем

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1}<5^{-2}<5^{-0{,}7}<5^{\frac{1}{3}}.$$

4) Преобразуем числа:

$$0{,}5^{-\frac{2}{3}}, \qquad 1{,}3^{-\frac{2}{3}}, \qquad \pi^{-\frac{2}{3}}, \qquad (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}.$$

Так как показатель отрицательный, то при большем основании значение меньше. Сравним основания:

$$0{,}5<1{,}3<\sqrt{2}<\pi.$$

Значит,

$$\pi^{-\frac{2}{3}}<(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}<1{,}3^{-\frac{2}{3}}<0{,}5^{-\frac{2}{3}}.$$

Ответ:

1) $$0{,}3^\pi,\ 0{,}3^{3{,}1415},\ 0{,}3^{\frac{2}{3}},\ 0{,}3^{0{,}5}.$$

2) $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi,\ (\sqrt{2})^\pi,\ 1{,}9^\pi,\ \pi^\pi.$$

3) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1},\ 5^{-2},\ 5^{-0{,}7},\ 5^{\frac{1}{3}}.$$

4) $$\pi^{-\frac{2}{3}},\ (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}},\ 1{,}3^{-\frac{2}{3}},\ 0{,}5^{-\frac{2}{3}}.$$