Упр.176 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

На одном рисунке построить графики функций $$y=x^2$$ и $$y=x\sqrt{x}$$. Сравнить значения этих функций при $$x$$, равном $$0$$; $$0{,}5$$; $$1$$; $$\frac{3}{2}$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$5$$.

Подробный ответ

Рассмотрим функции $$y=x^2$$ и $$y=x^{\sqrt{x}}.$$

Для функции $$y=x^2$$ удобно взять несколько значений аргумента и вычислить соответствующие значения:

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$
$$y=x^2$$	$$9$$	$$4$$	$$1$$	$$1$$	$$4$$	$$9$$	$$16$$	$$25$$

Для функции $$y=x^{\sqrt{x}}$$ область определения: $$x \ge 0.$$ Вычислим значения в нужных точках:

$$x$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$\frac{3}{2}$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$
$$y=x^{\sqrt{x}}$$	$$0$$	$$0{,}5^{\sqrt{0{,}5}}\approx 0{,}61$$	$$1$$	$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\sqrt{3/2}}\approx 1{,}96$$	$$2^{\sqrt{2}}\approx 2{,}67$$	$$3^{\sqrt{3}}\approx 6{,}65$$	$$4^{2}=16$$	$$5^{\sqrt{5}}\approx 55{,}9$$

Сравним значения функций:

при $$x=0$$: $$x^{\sqrt{x}}=x^2=0$$;
при $$x=0{,}5$$: $$x^{\sqrt{x}} > x^2,$$ так как $$0{,}61 > 0{,}25$$;
при $$x=1$$: $$x^{\sqrt{x}}=x^2=1$$;
при $$x=\frac{3}{2}$$: $$x^{\sqrt{x}} > x^2,$$ так как $$1{,}96 > 2{,}25$$ — нет, значит $$x^{\sqrt{x}} < x^2$$;
при $$x=2$$: $$x^{\sqrt{x}} < x^2,$$ так как $$2{,}67 < 4$$;
при $$x=3$$: $$x^{\sqrt{x}} < x^2,$$ так как $$6{,}65 < 9$$;
при $$x=4$$: $$x^{\sqrt{x}}=x^2=16$$;
при $$x=5$$: $$x^{\sqrt{x}} > x^2,$$ так как $$55{,}9 > 25$$.

Итак, графики функций пересекаются в точках $$\left(0,0\right)$$, $$\left(1,1\right)$$ и $$\left(4,16\right)$$, а на промежутках между ними одна функция больше другой в соответствии с полученными сравнениями.