Упр.175 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений: 1) $$y=x^9$$; 2) $$y=7x^4$$; 3) $$y=\sqrt{x}$$; 4) $$y=\sqrt[3]{x}$$; 5) $$y=x^{-2}$$; 6) $$y=x^{-3}$$.

Для степенной функции $$y=x^n$$ область определения и множество значений зависят от показателя степени.

Ход решения

1. $$y=x^9$$

   Показатель степени — нечётное натуральное число, значит:

   $$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

   График — нечётная возрастающая кривая, проходящая через точку $$\left(0,0\right).$$

2. $$y=7x^4$$

   Показатель степени — чётное натуральное число, значит:

   $$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[0,+\infty).$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$ и проходит через начало координат.

3. $$y=\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

   Для корня квадратного:

   $$D(y)=[0,+\infty), \qquad E(y)=[0,+\infty).$$

   График начинается в точке $$\left(0,0\right)$$ и возрастает в первой четверти.

4. $$y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}$$

   Для корня третьей степени:

   $$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

   График проходит через начало координат и возрастает на всей числовой прямой.

5. $$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому:

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E(y)=(0,+\infty).$$

   График имеет две ветви, расположенные выше оси $$Ox$$, и асимптоты $$x=0$$ и $$y=0.$$

6. $$y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю, значит:

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

   График имеет две ветви в I и III четвертях, асимптоты $$x=0$$ и $$y=0.$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=\mathbb{R}$$;
2) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=[0,+\infty)$$;
3) $$D(y)=[0,+\infty),\ E(y)=[0,+\infty)$$;
4) $$D(y)=\mathbb{R},\ E(y)=\mathbb{R}$$;
5) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(y)=(0,+\infty)$$;
6) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$.