Упр.174 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\sqrt{x^2-3x+2}>x+3$$;
2. $$\sqrt{2x^2-7x-4}>-x-\frac{1}{4}$$.

1) $$\sqrt{x^2-3x+2}>x+3$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной:

$$\begin{aligned} x^2-3x+2 > (x+3)^2,\\ x^2-3x+2 > x^2+6x+9,\\ -9x > 7,\\ x < -\frac79. \end{aligned}$$

Проверим область допустимых значений:

$$x^2-3x+2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x-2)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Кроме того, должно выполняться

$$x+3>0 \quad \Rightarrow \quad x>-3.$$

Пересекаем условия:

$$x<-\frac79,\quad x>-3.$$

Получаем

$$-3<x<-\frac79.$$

2) $$\sqrt{2x^2-7x-4}>-x-\frac14$$

Так как левая часть неотрицательна, то правая часть должна быть положительной:

$$-x-\frac14>0 \quad \Rightarrow \quad x<-\frac14.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\begin{aligned} 2x^2-7x-4 > \left(-x-\frac14\right)^2,\\ 2x^2-7x-4 > x^2+\frac12x+\frac1{16},\\ 16x^2-120x-65 > 0. \end{aligned}$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=120^2+4\cdot 16\cdot 65=18560=64\cdot 290,$$

$$x_{1,2}=\frac{120\pm 8\sqrt{290}}{32}=\frac{15\pm \sqrt{290}}{4}.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$16x^2-120x-65>0$$

при

$$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4} \quad \text{или} \quad x>\frac{15+\sqrt{290}}{4}.$$

С учётом условия $$x<-\frac14$$ и области определения $$2x^2-7x-4\ge 0$$ получаем только

$$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}.$$

Ответ

1) $$-3<x<-\frac79$$

2) $$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}$$