Упр.172 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 172. Решить графически неравенство: а) $$\sqrt{x}\geq x$$; б) $$\sqrt{x}

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x}\ge x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Графики функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$ пересекаются в точках $$x=0$$ и $$x=1.$$

На отрезке $$0\le x\le 1$$ график $$y=\sqrt{x}$$ расположен не ниже графика $$y=x$$, значит

$$0\le x\le 1.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x}<x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Графики $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$ пересекаются при $$x=0$$ и $$x=1.$$

При $$x>1$$ график $$y=\sqrt{x}$$ лежит ниже графика $$y=x$$, поэтому

$$x>1.$$

3) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x}\ge 2x-1.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Графики функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2x-1$$ пересекаются при $$x=0$$ и $$x=1.$$

На промежутке $$0\le x\le 1$$ выполняется неравенство $$\sqrt{x}\ge 2x-1,$$ значит

$$0\le x\le 1.$$

4) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x}\le x^2.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Графики $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x^2$$ пересекаются при $$x=0$$ и $$x=1.$$

При $$x\ge 1$$ график $$y=x^2$$ расположен не ниже графика $$y=\sqrt{x},$$ поэтому

$$x\ge 1.$$

Ответ

1) $$0\le x\le 1$$; 2) $$x>1$$; 3) $$0\le x\le 1$$; 4) $$x\ge 1$$.