Упр.171 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}$$
2. $$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}$$

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}.$$

Область определения: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Перенесём $$\sqrt{x}$$ вправо:

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}<\sqrt{x}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+1-2\sqrt{(x+1)(x-1)}+x-1<x.$$

$$2x-2\sqrt{x^2-1}<x,$$

$$x<2\sqrt{x^2-1}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2<4(x^2-1),$$

$$x^2<4x^2-4,$$

$$3x^2>4,$$

$$x^2>\frac{4}{3}.$$

С учётом $$x\ge 1$$ получаем:

$$x>\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}.$$

Область определения:

$$x+3\ge 0,\quad 7-x\ge 0,\quad 10-x\ge 0,$$

то есть $$-3\le x\le 7.$$

Перенесём всё в одну сторону и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}$$

$$x+3<17-2x+2\sqrt{(7-x)(10-x)}$$

$$3x-14<2\sqrt{(7-x)(10-x)}.$$

Если $$x<\frac{14}{3},$$ то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, значит неравенство выполняется.

Если $$x\ge \frac{14}{3},$$ возведём в квадрат:

$$(3x-14)^2<4(7-x)(10-x).$$

$$9x^2-84x+196<280-68x+4x^2,$$

$$5x^2-16x-84<0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2+4\cdot 5\cdot 84=1936,$$

$$x_1=\frac{16-44}{10}=-\frac{14}{5},\qquad x_2=\frac{16+44}{10}=6.$$

Тогда

$$-\frac{14}{5}<x<6.$$

С учётом области определения получаем:

$$-3\le x<6.$$

Ответ: 1) $$x>\frac{2}{\sqrt{3}}$$; 2) $$-3\le x<6.$$