Упр.171 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (x+3) < корень (7-x) + корень (10-x).

Подробный ответ

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}$$
Область определения: $$x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$
Перенесём $$\sqrt{x}$$ вправо:
$$\sqrt{x+1}<\sqrt{x}+\sqrt{x-1}.$$
Обе части неотрицательны, поэтому возведём в квадрат:
$$ x+1<x+x-1+2\sqrt{x(x-1)} $$
$$ 2<2\sqrt{x(x-1)} $$
$$ 1<\sqrt{x(x-1)} $$
Снова возведём в квадрат:
$$ 1<x(x-1) $$
$$ x^2-x-1>0 $$
Корни уравнения $$x^2-x-1=0$$:
$$ x=\frac{1\pm\sqrt5}{2} $$
Тогда
$$ x<\frac{1-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt5}{2}. $$
С учётом $$x\ge 1$$ получаем:
$$ x>\frac{1+\sqrt5}{2}. $$
$$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}$$
Область определения:
$$ x+3\ge 0,\quad 7-x\ge 0,\quad 10-x\ge 0 $$
$$ -3\le x\le 7. $$
Перенесём корень влево и возведём в квадрат:
$$ x+3<17-2x+2\sqrt{(7-x)(10-x)} $$
$$ 3x-14<2\sqrt{(7-x)(10-x)}. $$
Если $$x<\frac{14}{3},$$ то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, значит неравенство выполняется.
Если $$x\ge \frac{14}{3},$$ то можно возвести в квадрат:
$$ (3x-14)^2<4(7-x)(10-x) $$
$$ 9x^2-84x+196<280-68x+4x^2 $$
$$ 5x^2-16x-84<0 $$
Найдём корни:
$$ D=16^2+4\cdot 5\cdot 84=1936,\quad \sqrt D=44 $$
$$ x_1=\frac{16-44}{10}=-\frac{14}{5},\qquad x_2=\frac{16+44}{10}=6 $$
Тогда
$$ -\frac{14}{5}<x<6. $$
Пересекаем с областью определения $$-3\le x\le 7$$:
$$ -3\le x<6. $$