Упр.170 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x+2}>\sqrt{4-x}$$
2. $$\sqrt{3+2x}\geq\sqrt{x+1}$$
3. $$\sqrt{2x-5}<\sqrt{5x+4}$$
4. $$\sqrt{3x-2}>x-2$$
5. $$\sqrt{5x+11}>x+3$$
6. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{3x-5}$$

1. $$\sqrt{x+2}>\sqrt{4-x}$$

   Возведём обе части в квадрат и учтём область определения:

   $$\begin{aligned} x+2 > 4-x,\\ x+2 &\ge 0,\\ 4-x &\ge 0. \end{aligned}$$

   Из первого неравенства получаем:

   $$2x>2,\quad x>1.$$

   Совмещаем с ОДЗ:

   $$x\ge -2,\quad x\le 4.$$

   Следовательно, $$1<x\le 4.$$

2. $$\sqrt{3+2x}\ge \sqrt{x+1}$$

   Возведём обе части в квадрат и учтём область определения:

   $$\begin{aligned} 3+2x >= x+1,\\ 3+2x &\ge 0,\\ x+1 &\ge 0. \end{aligned}$$

   Из первого неравенства:

   $$x\ge -2.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\ge -1.$$

3. $$\sqrt{2x-5}<\sqrt{5x+4}$$

   Возведём обе части в квадрат и учтём область определения:

   $$\begin{aligned} 2x-5 < 5x+4,\\ 2x-5 &\ge 0,\\ 5x+4 &\ge 0. \end{aligned}$$

   Из первого неравенства:

   $$-3x<9,\quad x>-3.$$

   ОДЗ даёт:

   $$x\ge \frac{5}{2},\quad x\ge -\frac{4}{5}.$$

   Итак, $$x\ge \frac{5}{2}.$$

4. $$\sqrt{3x-2}>x-2$$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$x<2,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при условии существования корня:

   $$3x-2\ge 0,\quad x\ge \frac{2}{3}.$$

   Получаем:

   $$\frac{2}{3}\le x<2.$$

   Если $$x\ge 2,$$ то можно возвести обе части в квадрат:

   $$\begin{aligned} 3x-2 > (x-2)^2,\\ 3x-2 > x^2-4x+4,\\ x^2-7x+6 < 0,\\ (x-1)(x-6) < 0. \end{aligned}$$

   Отсюда $$1<x<6,$$ а с учётом $$x\ge 2$$ получаем $$2\le x<6.$$

   Объединяя результаты, имеем:

   $$\frac{2}{3}\le x<6.$$

5. $$\sqrt{5x+11}>x+3$$

   Если $$x<-3,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при условии существования корня:

   $$5x+11\ge 0,\quad x\ge -\frac{11}{5}.$$

   Это даёт $$- \frac{11}{5}\le x<-3,$$ что невозможно. Значит, рассматриваем $$x\ge -3.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\begin{aligned} 5x+11 > (x+3)^2,\\ 5x+11 > x^2+6x+9,\\ x^2+x-2 < 0,\\ (x+2)(x-1) < 0. \end{aligned}$$

   Отсюда:

   $$-2<x<1.$$

6. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{3x-5}$$

   Возведём обе части в квадрат и учтём область определения:

   $$\begin{aligned} 3-x < 3x-5,\\ 3-x &\ge 0,\\ 3x-5 &\ge 0. \end{aligned}$$

   Из первого неравенства:

   $$-4x<-8,\quad x>2.$$

   ОДЗ даёт:

   $$x\le 3,\quad x\ge \frac{5}{3}.$$

   Следовательно, $$2<x\le 3.$$

Ответ:

1. $$1<x\le 4$$
2. $$x\ge -1$$
3. $$x\ge \frac{5}{2}$$
4. $$\frac{2}{3}\le x<6$$
5. $$-2<x<1$$
6. $$2<x\le 3$$