Упр.169 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) корень (2+x-x2) > -1;
1) корень (6-x2) < корень 5; 1) корень (x2-x) > корень 2;
1) корень (x2+2x) > -3-x2;
1) корень (4x-x2) > -2-3×2.

Подробный ответ

$$\sqrt{2x^2+3x-2}>0$$
Так как корень квадратный положителен тогда и только тогда, когда подкоренное выражение строго больше нуля, получаем:
$$2x^2+3x-2>0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
$$x_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12$$
Тогда
$$2x^2+3x-2=(x+2)(2x-1)>0$$
Отсюда
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$
$$\sqrt{2+x-x^2}>-1$$
Левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях, значит неравенство верно при всех $x$, для которых выражение под корнем определено:
$$2+x-x^2\ge 0$$
$$x^2-x-2\le 0$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Следовательно,
$$-1\le x\le 2$$
$$\sqrt{6x-x^2}<\sqrt5$$
Возводим в квадрат, учитывая ОДЗ:
$$6x-x^2<5$$
$$x^2-6x+5>0$$
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$
Отсюда
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5$$
ОДЗ:
$$6x-x^2\ge 0$$
$$x(6-x)\ge 0$$
$$0\le x\le 6$$
Пересекаем с найденным решением:
$$0\le x<1 \quad \text{или} \quad 5<x\le 6$$
$$\sqrt{x^2-x}>\sqrt2$$
Возводим в квадрат, учитывая ОДЗ:
$$x^2-x>2$$
$$x^2-x-2>0$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Тогда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$
ОДЗ:
$$x^2-x\ge 0$$
$$x(x-1)\ge 0$$
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
Пересечение даёт то же решение:
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$
$$\sqrt{x^2+2x}>-3-x^2$$
Правая часть не положительна при всех $x$, а левая часть неотрицательна. Значит, неравенство верно при всех допустимых значениях:
$$x^2+2x\ge 0$$
$$x(x+2)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 0$$
$$\sqrt{4x-x^2}>-2-3x^2$$
Правая часть не положительна при всех $x$, поэтому достаточно найти область определения:
$$4x-x^2\ge 0$$
$$x(4-x)\ge 0$$
Следовательно,
$$0\le x\le 4$$