Упр.169 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\sqrt{2x^2+3x-2}>0$$

Так как корень квадратный неотрицателен, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение строго положительно:

$$2x^2+3x-2>0$$

Найдём корни уравнения $$2x^2+3x-2=0$$:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=\frac12$$

Тогда

$$2x^2+3x-2=(x+2)(2x-1)$$

Отсюда

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$

$$\sqrt{2+x-x^2}>-1$$

Левая часть неотрицательна, значит неравенство верно при всех значениях, при которых выражение под корнем имеет смысл:

$$2+x-x^2\ge 0$$

$$x^2-x-2\le 0$$

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$

Следовательно,

$$-1\le x\le 2$$

$$\sqrt{6x-x^2}<\sqrt5$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:

$$6x-x^2<5$$

$$x^2-6x+5>0$$

$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$

Тогда

$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5$$

Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$6x-x^2\ge 0$$

$$x(6-x)\ge 0$$

$$0\le x\le 6$$

Пересекаем условия:

$$0\le x<1 \quad \text{или} \quad 5<x\le 6$$

$$\sqrt{x^2-x}>\sqrt2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-x>2$$

$$x^2-x-2>0$$

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$

Проверим область определения:

$$x^2-x\ge 0$$

$$x(x-1)\ge 0$$

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$

Пересечение условий даёт тот же ответ:

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$

$$\sqrt{x^2+2x}>-3-x^2$$

Правая часть всегда не больше нуля, а левая часть неотрицательна. Значит, неравенство верно при всех допустимых значениях $$x$$:

$$x^2+2x\ge 0$$

$$x(x+2)\ge 0$$

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 0$$

$$\sqrt{4x-x^2}>-2-3x^2$$

Правая часть всегда отрицательна или равна нулю, а левая часть неотрицательна. Поэтому достаточно найти область определения:

$$4x-x^2\ge 0$$

$$x(4-x)\ge 0$$

$$0\le x\le 4$$