Упр.167 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x-2}>3$$
2. $$\sqrt{x-2}<1$$
3. $$\sqrt{3-x}<5$$
4. $$\sqrt{4-x}>3$$
5. $$\sqrt{2x-3}>4$$
6. $$\sqrt{x+1}\geq\frac{2}{3}$$
7. $$\sqrt{3x-5}<5$$
8. $$\sqrt{4x+5}\leq\frac{1}{2}$$

1) $$\sqrt{x-2}>3$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$x-2\ge 0$$:

$$\begin{aligned} x-2 > 9,\\ x > 11. \end{aligned}$$

Проверка области определения: $$x\ge 2$$. Это условие выполняется при $$x>11$$.

Ответ: $$x>11$$.

2) $$\sqrt{x-2}<1$$

Так как корень неотрицателен, получаем систему:

$$\begin{aligned} x-2 < 1,\\ x-2 &ge 0. \end{aligned}$$

Отсюда:

$$\begin{aligned} x < 3,\\ x &ge 2. \end{aligned}$$

Значит, $$2\le x<3$$.

Ответ: $$2\le x<3$$.

3) $$\sqrt{3-x}<5$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$3-x\ge 0$$:

$$\begin{aligned} 3-x < 25,\\ -x < 22,\\ x > -22. \end{aligned}$$

Область определения: $$x\le 3$$.

Следовательно, $$-22<x\le 3$$.

Ответ: $$-22<x\le 3$$.

4) $$\sqrt{4-x}>3$$

Получаем систему:

$$\begin{aligned} 4-x > 9,\\ 4-x &ge 0. \end{aligned}$$

Отсюда:

$$\begin{aligned} x < -5,\\ x &le 4. \end{aligned}$$

Значит, $$x<-5$$.

Ответ: $$x<-5$$.

5) $$\sqrt{2x-3}>4$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$2x-3\ge 0$$:

$$\begin{aligned} 2x-3 > 16,\\ 2x > 19,\\ x > 9{,}5. \end{aligned}$$

Область определения: $$x\ge 1{,}5$$. Она выполняется при $$x>9{,}5$$.

Ответ: $$x>9{,}5$$.

6) $$\sqrt{x+1}\ge \frac{2}{3}$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$x+1\ge 0$$:

$$\begin{aligned} x+1 &ge \frac{4}{9},\\ x &ge -\frac{5}{9}. \end{aligned}$$

Область определения: $$x\ge -1$$. Она уже содержится в найденном условии.

Ответ: $$x\ge -\frac{5}{9}$$.

7) $$\sqrt{3x-5}<5$$

Получаем систему:

$$\begin{aligned} 3x-5 < 25,\\ 3x-5 &ge 0. \end{aligned}$$

Отсюда:

$$\begin{aligned} 3x < 30,\\ x < 10,\\ 3x &ge 5,\\ x &ge \frac{5}{3}. \end{aligned}$$

Значит, $$\frac{5}{3}\le x<10$$.

Ответ: $$\frac{5}{3}\le x<10$$.

8) $$\sqrt{4x+5}\le \frac{1}{2}$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$4x+5\ge 0$$:

$$\begin{aligned} 4x+5 &le \frac{1}{4},\\ 4x &le -\frac{19}{4},\\ x &le -\frac{19}{16}. \end{aligned}$$

Область определения: $$x\ge -\frac{5}{4}$$.

Следовательно,

$$-\frac{5}{4}\le x\le -\frac{19}{16}.$$

Ответ: $$-\frac{5}{4}\le x\le -\frac{19}{16}$$.