Упр.164 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$$
2. $$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4$$

1) Обозначим $$a=\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}, \quad b=\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}.$$ Тогда

$$a+b=\sqrt6.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=6.$$

Подставим выражения для $$a^2$$ и $$b^2$$:

$$x+\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}+x-\sqrt{6x-9}=6.$$

Получаем

$$2x+2\sqrt{x^2-(6x-9)}=6,$$

$$x+\sqrt{x^2-6x+9}=3,$$

$$x+\sqrt{(x-3)^2}=3,$$

$$x+|x-3|=3.$$

Рассмотрим область допустимых значений:

$$6x-9\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac32.$$

Теперь решим уравнение с модулем. Если $$x\le 3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и тогда

$$x+3-x=3,$$

что верно при всех $$x$$ из ОДЗ. Если $$x>3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и получаем

$$x+x-3=3 \Rightarrow x=3,$$

что не даёт новых решений.

Значит, $$\frac32\le x\le 3.$$

2) Обозначим

$$a=\sqrt{x+\sqrt{x+11}}, \quad b=\sqrt{x-\sqrt{x+11}}.$$

Тогда

$$a+b=4.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=16.$$

Подставим:

$$x+\sqrt{x+11}+2\sqrt{(x+\sqrt{x+11})(x-\sqrt{x+11})}+x-\sqrt{x+11}=16,$$

$$2x+2\sqrt{x^2-(x+11)}=16,$$

$$x+\sqrt{x^2-x-11}=8,$$

$$\sqrt{x^2-x-11}=8-x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$8-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 8.$$ Возведём в квадрат:

$$x^2-x-11=(8-x)^2,$$

$$x^2-x-11=64-16x+x^2,$$

$$15x=75,$$

$$x=5.$$

Проверка:

$$\sqrt{5+\sqrt{16}}+\sqrt{5-\sqrt{16}}=\sqrt9+\sqrt1=3+1=4.$$

Значит, $$x=5.$$

Ответ: 1) $$\frac32\le x\le 3$$; 2) $$x=5$$.