Упр.164 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) корень (x+(корень (6x-9)) + корень (x-(корень (6x-9))= корень 6;
2) корень (x+(корень (x+11)) + корень (x-(корень (x+11))= 4.

1. $$\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt6.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}+x-\sqrt{6x-9}=6.$$

   Тогда

   $$2x+2\sqrt{x^2-(6x-9)}=6,$$

   $$x+\sqrt{x^2-6x+9}=3,$$

   $$x+\sqrt{(x-3)^2}=3,$$

   $$x+|x-3|=3.$$

   Рассмотрим область допустимых значений:

   $$6x-9\ge 0,\quad x-\sqrt{6x-9}\ge 0.$$

   Из первого неравенства получаем $$x\ge \frac32.$$

   Из уравнения $$x+|x-3|=3$$ следует, что решения лежат при $$x\le 3.$$

   Значит,

   $$\frac32\le x\le 3.$$

2. $$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+\sqrt{x+11}+2\sqrt{(x+\sqrt{x+11})(x-\sqrt{x+11})}+x-\sqrt{x+11}=16.$$

   Получаем

   $$2x+2\sqrt{x^2-(x+11)}=16,$$

   $$x+\sqrt{x^2-x-11}=8,$$

   $$\sqrt{x^2-x-11}=8-x.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2-x-11=(8-x)^2,$$

   $$x^2-x-11=64-16x+x^2,$$

   $$15x=75,$$

   $$x=5.$$

   Проверка:

   $$\sqrt{5+\sqrt{16}}+\sqrt{5-\sqrt{16}}=\sqrt9+\sqrt1=3+1=4.$$

Ответ

1) $$\frac32\le x\le 3$$; 2) $$x=5$$.