Упр.163 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнения:

1. $$\sqrt{4x+2\sqrt{3x^2+4}}=x+2$$
2. $$3-x=\sqrt{9-\sqrt{36x^2-5x^4}}$$
3. $$\sqrt{x^2+3x+12}-\sqrt{x^2+3x}=2$$
4. $$\sqrt{x^2+5x+10}-\sqrt{x^2+5x+3}=1$$

1) $$\sqrt{4x+2\sqrt{3x^2+4}}=x+2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x+2\sqrt{3x^2+4}=x^2+4x+4.$$

Тогда

$$2\sqrt{3x^2+4}=x^2+4.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4(3x^2+4)=(x^2+4)^2,$$

$$12x^2+16=x^4+8x^2+16,$$

$$x^4-4x^2=0,$$

$$x^2(x^2-4)=0,$$

$$x(x-2)(x+2)=0.$$

Проверка показывает, что все найденные корни подходят.

Ответ: $$-2;\ 0;\ 2.$$

2) $$3-x=\sqrt{9-\sqrt{36x^2-5x^4}}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$9-6x+x^2=9-\sqrt{36x^2-5x^4}.$$

Отсюда

$$x^2-6x=-\sqrt{36x^2-5x^4}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(x^2-6x\right)^2=36x^2-5x^4,$$

$$x^4-12x^3+36x^2=36x^2-5x^4,$$

$$6x^4-12x^3=0,$$

$$6x^3(x-2)=0.$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=2$$. Оба корня подходят при проверке.

Ответ: $$0;\ 2.$$

3) $$\sqrt{x^2+3x+12}-\sqrt{x^2+3x}=2.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{x^2+3x+12}=2+\sqrt{x^2+3x}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+3x+12=4+4\sqrt{x^2+3x}+x^2+3x,$$

$$8=4\sqrt{x^2+3x},$$

$$2=\sqrt{x^2+3x}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4=x^2+3x,$$

$$x^2+3x-4=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$-4;\ 1.$$

4) $$\sqrt{x^2+5x+10}-\sqrt{x^2+5x+3}=1.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{x^2+5x+10}=1+\sqrt{x^2+5x+3}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2+5x+10=1+2\sqrt{x^2+5x+3}+x^2+5x+3,$$

$$6=2\sqrt{x^2+5x+3},$$

$$3=\sqrt{x^2+5x+3}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$9=x^2+5x+3,$$

$$x^2+5x-6=0,$$

$$\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0.$$

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: $$-6;\ 1.$$