Упр.1624 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$y=\frac{2\cos^4 x+\sin^2 x}{2\sin^4 x+3\cos^2 x}$$
$$2\cos^4 x+\sin^2 x=2\cos^4 x+1-\cos^2 x=\cos^2 x\,(2\cos^2 x-1)+1=\cos^2 x\cos 2x+1$$
$$2\sin^4 x+3\cos^2 x=2\sin^4 x+3-3\sin^2 x=\cos^2 x\cos 2x+2$$

Тогда

$$y=\frac{\cos^2 x\cos 2x+1}{\cos^2 x\cos 2x+2}$$

Обозначим

$$t=\cos^2 x\cos 2x$$
Тогда
$$y=\frac{t+1}{t+2}.$$

Найдём возможные значения $$t$$:

$$t=\cos^2 x\cos 2x=\cos^2 x(2\cos^2 x-1).$$
Положим $$u=\cos^2 x,$$ тогда $$0\le u\le 1$$ и
$$t=u(2u-1)=2u^2-u.$$
Это парабола, ветви вверх. На отрезке $$[0,1]$$ её наименьшее значение достигается в вершине:
$$u=\frac14,\qquad t_{\min}=2\cdot\frac1{16}-\frac14=-\frac18.$$
Наибольшее значение на концах отрезка:
$$t_{\max}=\max\{0,1\}=1.$$

Функция

$$y=\frac{t+1}{t+2}$$
возрастает по $$t$$, так как
$$\frac{d}{dt}\frac{t+1}{t+2}=\frac1{(t+2)^2}>0.$$
Значит, наибольшее и наименьшее значения $$y$$ достигаются при $$t_{\max}$$ и $$t_{\min}$$.

$$y_{\max}=\frac{1+1}{1+2}=\frac23,$$
$$y_{\min}=\frac{-\frac18+1}{-\frac18+2}=\frac{\frac78}{\frac{15}{8}}=\frac7{15}.$$