Упр.1623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения параметра $$a$$, при которых вершины двух парабол $$y=4x^2+8ax-9$$ и $$y=4ax^2-8x+a-2$$ лежат по одну сторону от прямой $$y=-5$$.

Найдём вершины парабол.

Для $$y=4x^2+8ax-9$$ имеем

$$x_1=-\frac{8a}{2\cdot 4}=-a,$$

$$y_1=4(-a)^2+8a(-a)-9=-4a^2-9.$$

Для $$y=4ax^2-8x+a-2$$ при $$a\neq 0$$ получаем

$$x_2=-\frac{-8}{2\cdot 4a}=\frac{1}{a},$$

$$y_2=4a\left(\frac{1}{a}\right)^2-8\left(\frac{1}{a}\right)+a-2=a-\frac{4}{a}-2.$$

Чтобы вершины лежали по одну сторону от прямой $$y=-5,$$ нужно, чтобы их ординаты были одновременно больше $$-5$$ или одновременно меньше $$-5$$.

1) Пусть обе вершины выше прямой $$y=-5$$:

$$\begin{cases} -4a^2-9>-5,\\ a-\dfrac{4}{a}-2>-5. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем

$$-4a^2>4,$$

что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

2) Пусть обе вершины ниже прямой $$y=-5$$:

$$\begin{cases} -4a^2-9<-5,\\ a-\dfrac{4}{a}-2<-5. \end{cases}$$

Первое неравенство выполняется при любом $$a$$, так как

$$-4a^2<4.$$

Решим второе:

$$a-\frac{4}{a}+3<0,$$

$$\frac{a^2+3a-4}{a}<0,\qquad a\neq 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$a^2+3a-4=(a+4)(a-1).$$

Тогда

$$\frac{(a+4)(a-1)}{a}<0.$$

По знакам получаем

$$a<-4 \quad \text{или} \quad 0<a<1.$$

Ответ

$$a<-4,\; 0<a<1.$$