Упр.1622 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции $$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно $$3$$.

Рассмотрим функцию $$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена ветвями вверх, а её минимум достигается в вершине или на концах отрезка $$[0;2]$$.

Найдём абсциссу вершины:

$$y'(x)=8x-4a,$$

$$8x-4a=0 \;\Rightarrow\; x=\frac a2.$$

1. Если вершина лежит на отрезке $$[0;2]$$, то

   $$0\le \frac a2 \le 2 \;\Rightarrow\; 0\le a\le 4.$$

   Тогда минимальное значение равно значению функции в вершине:

   $$y\left(\frac a2\right)=4\left(\frac a2\right)^2-4a\cdot \frac a2+a^2-2a+2=-2a+2.$$

   По условию

   $$-2a+2=3,$$

   $$a=-\frac12.$$

   Но это не удовлетворяет условию $$0\le a\le 4$$, значит этот случай не подходит.

2. Если вершина правее отрезка $$[0;2]$$, то $$\frac a2\ge 2$$, то есть $$a\ge 4.$$

   На отрезке функция убывает, поэтому минимум достигается при $$x=2$$:

   $$y(2)=4\cdot 2^2-4a\cdot 2+a^2-2a+2=a^2-10a+18.$$

   По условию

   $$a^2-10a+18=3,$$

   $$a^2-10a+15=0.$$

   Тогда

   $$D=100-60=40,$$

   $$a=\frac{10\pm \sqrt{40}}{2}=5\pm \sqrt{10}.$$

   С учётом условия $$a\ge 4$$ подходит только

   $$a=5+\sqrt{10}.$$

3. Если вершина левее отрезка $$[0;2]$$, то $$\frac a2\le 0$$, то есть $$a\le 0.$$

   На отрезке функция возрастает, поэтому минимум достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=a^2-2a+2.$$

   По условию

   $$a^2-2a+2=3,$$

   $$a^2-2a-1=0.$$

   Тогда

   $$D=4+4=8,$$

   $$a=\frac{2\pm \sqrt8}{2}=1\pm \sqrt2.$$

   С учётом условия $$a\le 0$$ подходит только

   $$a=1-\sqrt2.$$

Итак, искомые значения параметра:

$$a=1-\sqrt2,\quad a=5+\sqrt{10}.$$

Ответ

$$1-\sqrt2,\; 5+\sqrt{10}$$