Упр.1621 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти все значения $$a$$, при которых наименьшее значение функции $$y=x^2+(a+4)x+2a+3$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно $$-4$$.
Рассмотрим функцию $$y=x^2+(a+4)x+2a+3.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, значит на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение достигается либо в вершине, либо на одном из концов отрезка.
Найдём абсциссу вершины:
$$y’ = 2x+a+4,$$
$$2x+a+4=0,$$
$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$
Рассмотрим возможные случаи.
Вершина лежит на отрезке $$[0;2]$$:
$$0\le -\frac{a+4}{2}\le 2,$$
$$-4\le a+4\le 0,$$
$$-8\le a\le -4.$$
Тогда минимум равен значению функции в вершине:
$$y_{\min}=f\!\left(-\frac{a+4}{2}\right)=-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3.$$
По условию:
$$-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3=-4,$$
$$-(a+4)^2+8a+12=-16,$$
$$-(a^2+8a+16)+8a+28=0,$$
$$-a^2+12=0,$$
$$a^2=12,$$
$$a=\pm 2\sqrt{3}.$$
Из них условию $$-8\le a\le -4$$ не удовлетворяет ни одно значение.
Вершина лежит правее отрезка $$[0;2]$$, то есть $$x_0\ge 2$$:
$$-\frac{a+4}{2}\ge 2,$$
$$a\le -8.$$
Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=2$$:
$$f(2)=4+2(a+4)+2a+3=4a+15.$$
По условию:
$$4a+15=-4,$$
$$4a=-19,$$
$$a=-\frac{19}{4},$$
но это значение не удовлетворяет условию $$a\le -8.$$
Вершина лежит левее отрезка $$[0;2]$$, то есть $$x_0\le 0$$:
$$-\frac{a+4}{2}\le 0,$$
$$a\ge -4.$$
Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=2a+3.$$
По условию:
$$2a+3=-4,$$
$$2a=-7,$$
$$a=-\frac{7}{2}.$$
Это значение удовлетворяет условию $$a\ge -4.$$
Следовательно, искомое значение параметра:
Ответ: $$a=-\frac{7}{2}.$$
