Упр.162 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:
- $$\sqrt{x-6}=-x^2$$;
- $$\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$$;
- $$\sqrt{x+1}=x^2-7$$;
- $$x^3-1=\sqrt{x+1}$$.
1) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt{x-6}$$ и $$y=-x^2.$$
Область определения первой функции: $$x-6\ge 0,\quad x\ge 6,$$ при этом $$y\ge 0.$$
У второй функции $$y=-x^2\le 0$$ при всех $$x.$$
Значит, графики не могут пересекаться, так как одна функция принимает только неотрицательные значения, а другая — только неположительные. Следовательно, корней нет.
2) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=(x-1)^2.$$
График $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей числовой прямой, а график $$y=(x-1)^2$$ — парабола с вершиной в точке $$\left(1,0\right).$$ По графику видно, что они пересекаются в двух точках.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
3) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt{x+1}$$ и $$y=x^2-7.$$
Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1,$$ и $$y\ge 0.$$
По графику видно, что пересечение происходит только в одной точке. Проверка: при $$x=3$$ получаем
$$\sqrt{3+1}=3^2-7,$$
$$2=2.$$
Значит, уравнение имеет один корень.
4) Рассмотрим графики функций $$y=x^3-1$$ и $$y=\sqrt{x-1}.$$
Область определения второй функции: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1,$$ и $$y\ge 0.$$
Графики пересекаются в одной точке. Проверка: при $$x=1$$
$$1^3-1=\sqrt{1-1},$$
$$0=0.$$
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ
1) корней нет; 2) два корня; 3) один корень; 4) один корень.
