Упр.1619 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает прямую $$y=2x-3$$ в точке с абсциссой 1. При каких значениях $$p$$ и $$q$$ расстояние от вершины параболы до оси $$Ox$$ является наименьшим? Найти это расстояние.

Так как парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает прямую $$y=2x-3$$ в точке с абсциссой $$1$$, подставим $$x=1$$:

$$1^2+p\cdot 1+q=2\cdot 1-3$$

$$1+p+q=-1$$

$$p+q=-2,$$

откуда

$$q=-2-p.$$

Координаты вершины параболы $$y=x^2+px+q$$:

$$x_0=-\frac{p}{2}, \qquad y_0=-\frac{p^2-4q}{4}.$$

Расстояние от вершины до оси $$Ox$$ равно модулю ординаты вершины:

$$d=\left|y_0\right|=\left|-\frac{p^2-4q}{4}\right|=\frac{|p^2-4q|}{4}.$$

Подставим $$q=-2-p$$:

$$d(p)=\frac{|p^2-4(-2-p)|}{4}=\frac{p^2+4p+8}{4}.$$

Так как $$p^2+4p+8=(p+2)^2+4,$$ то

$$d(p)=\frac{(p+2)^2+4}{4}\ge 1.$$

Минимум достигается при $$p=-2$$. Тогда

$$q=-2-(-2)=0,$$

а расстояние

$$d_{\min}=\frac{(-2)^2+4\cdot(-2)+8}{4}=\frac{4}{4}=1.$$

Ответ

$$p=-2,\quad q=0,\quad d_{\min}=1.$$