Упр.1618 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$k$$ площадь фигуры, заключённой между параболой $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$, наименьшая?

Найдём значение $$k$$, при котором площадь фигуры между параболой $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$ минимальна.

Ход решения

Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x^2+2x-3=kx+1,$$

откуда

$$x^2+(2-k)x-4=0.$$

Обозначим корни этого уравнения через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$x_2-x_1=\sqrt{(2-k)^2+16}=\sqrt{k^2-4k+20}.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl(kx+1-(x^2+2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)\,dx.$$

После преобразований получаем

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{k^2-4k+20}\,(k^2-4k+20).$$

То есть

$$S=\frac{1}{6}\bigl(k^2-4k+20\bigr)^{3/2}.$$

Так как функция $$t^{3/2}$$ возрастает при $$t>0$$, то достаточно минимизировать выражение

$$k^2-4k+20=(k-2)^2+16.$$

Оно наименьшее при

$$k=2.$$

Ответ

$$k=2.$$