Упр.1617 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

На параболе $$y=2x^2-3x+8$$ найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Пусть касательная к параболе $$y=2x^2-3x+8$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда её уравнение:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a),$$

где

$$f(x)=2x^2-3x+8,\qquad f'(x)=4x-3.$$

Следовательно,

$$y=(4a-3)(x-a)+2a^2-3a+8.$$

Раскроем скобки:

$$y=(4a-3)x-(4a-3)a+2a^2-3a+8,$$

$$y=(4a-3)x-4a^2+3a+2a^2-3a+8,$$

$$y=(4a-3)x-2a^2+8.$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:

$$0=-2a^2+8,$$

$$2a^2=8,$$

$$a^2=4,$$

$$a=\pm 2.$$

Найдём соответствующие точки параболы:

$$f(2)=2\cdot 2^2-3\cdot 2+8=8-6+8=10,$$

$$f(-2)=2\cdot (-2)^2-3\cdot (-2)+8=8+6+8=22.$$

Итак, искомые точки:

$$(-2;22)\ \text{и}\ (2;10).$$

Ответ: $$(-2;22),\ (2;10).$$