Упр.1616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2+ax+1)<1$$ выполняется для всех $$x$$ из промежутка $$(-\infty;0)$$.

Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac12}(x^2+ax+1)<1 \iff x^2+ax+1>\frac12.$$

Получаем

$$x^2+ax+\frac12>0.$$

Это неравенство должно выполняться при всех $$x\in(-\infty;0).$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$f(x)=x^2+ax+\frac12.$$ Его ветви направлены вверх. Чтобы $$f(x)>0$$ для всех отрицательных $$x,$$ достаточно, чтобы на промежутке $$(-\infty;0)$$ не было корней, то есть оба корня (если они есть) были неотрицательны.

Найдём дискриминант:

$$D=a^2-2.$$

Если $$D<0,$$ то корней нет, и неравенство верно при всех $$x.$$ Тогда

$$a^2-2<0,$$

$$a^2<2,$$

$$-\sqrt2<a<\sqrt2.$$

Если $$D\ge 0,$$ то корни равны

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-2}}{2}.$$

Чтобы оба корня были неотрицательны, нужно, в частности, чтобы меньший корень был неотрицателен:

$$\frac{-a-\sqrt{a^2-2}}{2}\ge 0.$$

Но это возможно только при $$a\le 0,$$ и тогда после возведения в квадрат получаем

$$a^2\ge a^2-2,$$

что верно всегда, однако условие неотрицательности меньшего корня приводит к

$$a\le -\sqrt2.$$

Следовательно, при $$D\ge 0$$ подходят значения $$a\le -\sqrt2,$$ а вместе с случаем $$D<0$$ получаем

$$a<\sqrt2.$$

Ответ: $$a<\sqrt2.$$