Упр.1615 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1$$

Ход решения

Перенесём $$-1$$ в левую часть:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}+1<0$$

$$\frac{4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<0$$

Рассмотрим область допустимых значений:

$$x^2+3x-4\ge 0,\qquad x\ne 3$$

Решим неравенство для подкоренного выражения:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty),\qquad x\ne 3$$

Теперь исследуем знак дроби.

1) Если $$x>3$$, то знаменатель положителен, и нужно, чтобы

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}<0$$

$$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4$$

Правая часть должна быть положительной, значит $$x>2$$, что при $$x>3$$ выполнено.

Возведём в квадрат:

$$x^2+3x-4<4x^2-16x+16$$

$$3x^2-19x+20>0$$

$$3x^2-19x+20=(3x-4)(x-5)>0$$

Отсюда при $$x>3$$ получаем

$$x\in\left(3;\frac43\right)\cup(5;+\infty)$$

С учётом условия $$x>3$$ остаётся

$$x\in(5;+\infty)$$

2) Если $$x<3$$, то знаменатель отрицателен, и нужно, чтобы

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}>0$$

$$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4$$

Если $$2x-4\le 0$$, то неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$. Это даёт

$$x\le 2$$

С учётом ОДЗ:

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;2]$$

Если же $$2<x<3$$, то правая часть положительна, и можно возвести в квадрат:

$$x^2+3x-4>4x^2-16x+16$$

$$3x^2-19x+20<0$$

$$3x^2-19x+20=(3x-4)(x-5)<0$$

Отсюда

$$\frac43<x<5$$

С учётом $$2<x<3$$ получаем

$$x\in(2;3)$$

Но при $$x<3$$ и условии ОДЗ остаётся только

$$x\in[1;3)$$

Объединяя все найденные промежутки, получаем:

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty)$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty)$$