Упр.1615 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1615

Рассмотрим неравенство

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1.$$

Перенесём $$-1$$ в левую часть:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}+1<0,$$

$$\frac{4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<0.$$

Найдём область допустимых значений:

$$x^2+3x-4\ge 0,\qquad x\ne 3.$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя.

1) Если $$x>3,$$ то знаменатель положителен, и нужно, чтобы числитель был отрицателен:

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}<0,$$

$$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4.$$

Так как правая часть должна быть положительной, имеем $$x>2.$$ Тогда можно возвести в квадрат:

$$x^2+3x-4<4x^2-16x+16,$$

$$3x^2-19x+20>0,$$

$$3x^2-19x+20=(3x-4)(x-5)>0.$$

Отсюда

$$x<\frac43 \quad \text{или} \quad x>5.$$

С учётом $$x>3$$ получаем

$$x>5.$$

2) Если $$x<3,$$ то знаменатель отрицателен, и нужно, чтобы числитель был положителен:

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}>0.$$

Это верно при всех допустимых значениях, если

$$x^2+3x-4\ge 0,\qquad x<3.$$

Тогда

$$x\le -4 \quad \text{или} \quad 1\le x<3.$$

Объединяя оба случая, получаем:

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty).$$