Упр.1614 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{x^2}\lvert 2x+1\rvert \ge 2$$
2. $$\log_{x^2}\lvert 3x+1\rvert < \frac{1}{2}$$

1) Рассмотрим неравенство $$\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2.$$

Запишем число $$2$$ как логарифм по тому же основанию:

$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge \log_{|2x+1|} |2x+1|^2.$$

Чтобы можно было сравнивать аргументы логарифмов, нужно:

$$|2x+1|>0,\quad |2x+1|\ne 1,\quad x^2>0.$$

Так как основание логарифма должно быть больше $$1$$, получаем:

$$|2x+1|>1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (2x+1)^2>1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x(x+1)>0,$$

откуда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

Теперь сравним аргументы:

$$x^2 \ge (2x+1)^2.$$

Тогда

$$x^2-(2x+1)^2\ge 0$$

$$x^2-4x^2-4x-1\ge 0$$

$$3x^2+4x+1\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2}{6},\quad x_1=-1,\quad x_2=-\frac13.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-1\le x\le -\frac13.$$

С учётом условия $$x<-1$$ или $$x>0$$ получаем пересечение:

$$x\in\left[-1,-\frac13\right].$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_{x^2}|3x+1|<\frac12.$$

Представим $$\frac12$$ как логарифм:

$$\log_{x^2}|3x+1|<\log_{x^2}\sqrt{x^2}.$$

Для основания логарифма нужно:

$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,$$

то есть

$$x\ne 0,\quad x\ne \pm 1.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x^2>1$$, то основание больше $$1$$, и знак неравенства сохраняется:

   $$|3x+1|<|x|.$$

   Это равносильно системе решений по промежуткам, и с учётом $$x<-1$$ или $$x>1$$ получаем:

   $$-1<x<-\frac12 \quad \text{или} \quad 0<x<1.$$

2. Если $$0<x^2<1$$, то основание меньше $$1$$, и знак неравенства меняется:

   $$|3x+1|>|x|.$$

   С учётом $$-1<x<1$$ получаем:

   $$-\frac14<x<0.$$

Объединяя все найденные промежутки, получаем:

$$x\in\left(-1,-\frac12\right)\cup\left(-\frac14,0\right)\cup(0,1).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-1,-\frac13\right].$$

2) $$x\in\left(-1,-\frac12\right)\cup\left(-\frac14,0\right)\cup(0,1).$$