Упр.1613 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{2}}(1+x)-\sqrt{x^2-4}\le 0$$
2. $$\frac{1}{\log_5(3-2x)}-\frac{1}{4-\log_5(3-2x)}<0$$

1) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac12}(1+x)-\sqrt{x^2-4}\le 0.$$

Перенесём корень вправо:

$$\log_{\frac12}(1+x)\le \sqrt{x^2-4}.$$

Найдём область допустимых значений:

$$1+x>0,\qquad x^2-4\ge 0.$$

Отсюда

$$x>-1,\qquad x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 2.$$

Совместно получаем только

$$x\ge 2.$$

При этих значениях правая часть неотрицательна, а левая часть $$\log_{\frac12}(1+x)$$ не превосходит её, значит неравенство выполняется для всех $$x$$ из области допустимых значений.

Ответ: $$x\ge 2.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\frac{1}{\log_5(3-2x)}-\frac{1}{4-\log_5(3-2x)}<0.$$

Положим

$$y=\log_5(3-2x).$$

Тогда получаем

$$\frac{1}{y}-\frac{1}{4-y}<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4-y-y}{y(4-y)}<0,$$

$$\frac{2(2-y)}{y(4-y)}<0.$$

Так как числитель и знаменатель должны иметь разные знаки, получаем

$$y<0 \quad \text{или} \quad 2<y<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$.

1) Если $$y<0$$, то

$$\log_5(3-2x)<0,$$

$$3-2x<1,$$

$$x>1.$$

2) Если $$2<y<4$$, то

$$2<\log_5(3-2x)<4,$$

$$5^2<3-2x<5^4,$$

$$25<3-2x<625.$$

Из левой части:

$$25<3-2x \Rightarrow x<-11.$$

Из правой части:

$$3-2x<625 \Rightarrow x>-311.$$

Следовательно,

$$-311<x<-11.$$

Объединяя оба случая, получаем:

Ответ: $$-311<x<-11,\quad x>1.$$