Упр.1612 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство (1612—1615).

1. 1612. 1) $$\frac{2}{5}x^2-5x+6<1$$; 2) $$5x-3(x+1)>2(5(x-1)-3(x-2))$$.

1) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-5x+6}<1$$

Так как $$0<\frac{2}{5}<1,$$ то неравенство равносильно условию

$$x^2-5x+6>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Тогда

$$(x-2)(x-3)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty).$$

2) $$5^x-3^{x+1}>2\bigl(5^{x-1}-3^{x-2}\bigr)$$

Преобразуем правую часть:

$$5^x-3\cdot 3^x>2\left(\frac{5^x}{5}-\frac{3^x}{9}\right).$$

Тогда

$$5^x-3\cdot 3^x>\frac{2}{5}5^x-\frac{2}{9}3^x,$$

$$\frac{3}{5}5^x-\frac{25}{9}3^x>0.$$

Умножим на $$45>0$$:

$$27\cdot 5^x-125\cdot 3^x>0.$$

Перепишем:

$$3^3\cdot 5^x>5^3\cdot 3^x,$$

$$\left(\frac{5}{3}\right)^x>\left(\frac{5}{3}\right)^3.$$

Так как $$\frac{5}{3}>1,$$ получаем

$$x>3.$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty).$$