Упр.1611 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых является верным при всех значениях $$x$$ неравенство:

1. $$\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\leq a$$;
2. $$\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}\geq a$$.

1) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}.$$

Найдём её производную:

$$f'(x)=\frac{(16x-4)(4x^2-2x+1)-(8x^2-4x+3)(8x-2)}{(4x^2-2x+1)^2} =\frac{2-8x}{(4x^2-2x+1)^2}.$$

Так как $$4x^2-2x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем:

$$2-8x>0 \iff x<\frac14.$$

Значит, функция возрастает при $$x<\frac14$$ и убывает при $$x>\frac14$$, то есть в точке $$x=\frac14$$ достигается максимум.

Вычислим его:

$$f\!\left(\frac14\right)=\frac{8\cdot\frac1{16}-4\cdot\frac14+3}{4\cdot\frac1{16}-2\cdot\frac14+1} =\frac{\frac12-1+3}{\frac14-\frac12+1} =\frac{\frac52}{\frac34} =\frac{10}{3}.$$

Чтобы неравенство $$\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\le a$$ выполнялось при всех $$x$$, нужно и достаточно, чтобы $$a$$ было не меньше наибольшего значения функции:

$$a\ge \frac{10}{3}.$$

2) Рассмотрим функцию

$$g(x)=\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{(6x-4)(9x^2-12x+16)-(3x^2-4x+8)(18x-12)}{(9x^2-12x+16)^2} =\frac{32-48x}{(9x^2-12x+16)^2}.$$

Так как $$9x^2-12x+16>0$$ при всех $$x$$, то

$$32-48x>0 \iff x<\frac23.$$

Следовательно, функция возрастает при $$x<\frac23$$ и убывает при $$x>\frac23$$, значит, в точке $$x=\frac23$$ достигается максимум:

$$g\!\left(\frac23\right)=\frac{3\cdot\frac49-4\cdot\frac23+8}{9\cdot\frac49-12\cdot\frac23+16} =\frac{\frac43-\frac83+8}{4-8+16} =\frac{\frac{20}{3}}{12} =\frac59.$$

Чтобы неравенство $$\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}\ge a$$ выполнялось при всех $$x$$, нужно и достаточно, чтобы $$a$$ не превосходило наименьшего значения функции. Так как при $$x\to\pm\infty$$

$$g(x)\to \frac{3}{9}=\frac13,$$

а максимум равен $$\frac59$$, то наименьшее возможное значение функции равно $$\frac13$$. Значит,

$$a\le \frac13.$$

Ответ: 1) $$a\ge \frac{10}{3}$$; 2) $$a\le \frac13$$.