Упр.1610 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\frac{2x-3}{4-x}> \frac{1}{x}$$;
2. $$\frac{2x+5}{|x+1|}\geq 1$$.

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2x-3}{4-x}>\frac1x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{2x-3}{4-x}-\frac1x>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(2x-3)-(4-x)}{x(4-x)}>0.$$

$$\frac{2x^2-3x-4+x}{x(4-x)}>0.$$

$$\frac{2x^2-2x-4}{x(4-x)}>0.$$

$$\frac{2(x^2-x-2)}{x(4-x)}>0.$$

$$\frac{2(x+1)(x-2)}{x(4-x)}>0.$$

Так как $$4-x=-(x-4),$$ получаем

$$\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-4)}<0.$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;2,\;4.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-1;0)\cup(2;4).$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{2x+5}{|x+1|}\ge 1.$$

Область определения: $$x\ne -1.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x>-1,$$ то $$|x+1|=x+1,$$ и

   $$\frac{2x+5}{x+1}\ge 1.$$

   $$\frac{2x+5-(x+1)}{x+1}\ge 0,$$

   $$\frac{x+4}{x+1}\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\in(-1;+\infty).$$

2. Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-(x+1),$$ и

   $$\frac{2x+5}{-(x+1)}\ge 1.$$

   Умножим на $$-1$$ с изменением знака неравенства:

   $$\frac{2x+5}{x+1}\le -1.$$

   $$\frac{2x+5+x+1}{x+1}\le 0,$$

   $$\frac{3x+6}{x+1}\le 0,$$

   $$\frac{x+2}{x+1}\le 0.$$

   Отсюда при $$x<-1$$ получаем

   $$x\in[-2;-1).$$

Объединяя результаты, получаем:

$$x\in[-2;-1)\cup(-1;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-1;0)\cup(2;4).$$

2) $$x\in[-2;-1)\cup(-1;+\infty).$$