Упр.1609 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}\log_3(y-3)-2\log_9(x)=0,\\(x+a)^2-2y-5a=0\end{cases}$$ имеет хотя бы одно решение?

Преобразуем первое уравнение:

$$\log_3(y-3)-2\log_9 x=0.$$

Так как $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,$$ то

$$\log_3(y-3)-\log_3 x=0,$$

откуда

$$\log_3\frac{y-3}{x}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{y-3}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad y=x+3.$$

С учётом области допустимых значений имеем $$x>0,\; y>3.$$

Подставим $$y=x+3$$ во второе уравнение:

$$(x+a)^2-2(x+3)-5a=0,$$

$$x^2+2ax+a^2-2x-6-5a=0,$$

$$x^2+(2a-2)x+(a^2-5a-6)=0.$$

Чтобы система имела хотя бы одно решение, это квадратное уравнение должно иметь корень $$x>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-2)^2-4(a^2-5a-6)=4(3a+7).$$

Следовательно,

$$D\ge 0 \quad \Rightarrow \quad a\ge -\frac73.$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=1-a\pm\sqrt{3a+7}.$$

Нужно, чтобы хотя бы один из них был положительным.

Если

$$1-a+\sqrt{3a+7}>0,$$

то решение существует. Это неравенство выполняется при

$$3a+7>(a-1)^2,$$

$$3a+7>a^2-2a+1,$$

$$a^2-5a-6<0,$$

$$(a+1)(a-6)<0,$$

откуда

$$-1<a<6.$$

Совмещая это с условием $$a\ge -\frac73,$$ получаем

$$-\frac73\le a<6.$$

При этих значениях параметра система имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$-\frac73\le a<6.$$