Упр.1608 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

27-3^(2x-y) +3×2 = 4 корень 3,
lg (у — 4х) = 2 lg (2 + 2х — у) — lg у,
2) система
8*2^(-x-2y) + 2y2=3 корень 2,
lg (х + 4у) = 2 lg (2 — х — 2у) — lg х.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 27\cdot 3^{2x-y}+3x^2=4\sqrt3,\\ \lg(y-4x)=2\lg(2+2x-y)-\lg y. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ \lg(y-4x)=\lg(2+2x-y)^2-\lg y=\lg\frac{(2+2x-y)^2}{y}. $$
Тогда
$$ y-4x=\frac{(2+2x-y)^2}{y}. $$
Умножим на $$y$$:
$$ y(y-4x)=(2+2x-y)^2. $$
Раскроем скобки и упростим:
$$ y^2-4xy=4+8x+4x^2-4y-4xy+y^2-4xy, $$
откуда
$$ 4x^2+8x-4y+4=0, $$
$$ x^2+2x-y+1=0, $$
$$ y=(x+1)^2. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 27\cdot 3^{2x-(x+1)^2}+3x^2=4\sqrt3. $$
Так как
$$ 2x-(x+1)^2=-x^2-1, $$
получаем
$$ 27\cdot 3^{-x^2-1}+3x^2=4\sqrt3, $$
$$ 3^{2-x^2}+3x^2=4\sqrt3. $$
Положим $$z=3^{x^2}$$, тогда $$3^{2-x^2}=\dfrac{9}{z}$$. Получаем:
$$ \frac{9}{z}+z^2? $$
$$ 3^{2-x^2}+3^{x^2}=4\sqrt3. $$
Положим $$z=3^{x^2}$$. Тогда
$$ \frac{9}{z}+z-4\sqrt3=0, $$
$$ z^2-4\sqrt3\,z+9=0. $$
$$ D=(4\sqrt3)^2-4\cdot 9=48-36=12. $$
$$ z_{1,2}=\frac{4\sqrt3\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\sqrt3\pm 2\sqrt3}{2}. $$
Отсюда
$$ z_1=\sqrt3,\qquad z_2=3\sqrt3. $$
1) $$3^{x^2}=\sqrt3=3^{1/2}$$, значит
$$ x^2=\frac12,\qquad x=\pm\frac1{\sqrt2}. $$
Тогда
$$ y=(x+1)^2=\frac32\pm\sqrt2. $$
2) $$3^{x^2}=3\sqrt3=3^{3/2}$$, значит
$$ x^2=\frac32,\qquad x=\pm\sqrt{\frac32}. $$
Тогда
$$ y=(x+1)^2=\frac52\pm\sqrt6. $$
Проверяем область допустимых значений:
$$ y-4x>0,\qquad 2+2x-y>0,\qquad y>0. $$
Подходят только точки
$$ \left(\frac1{\sqrt2};\frac32+\sqrt2\right),\qquad \left(-\frac1{\sqrt2};\frac32-\sqrt2\right). $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 8\cdot 2^{-x-2y}+2y^2=3\sqrt2,\\ \lg(x+4y)=2\lg(2-x-2y)-\lg x. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ \lg(x+4y)=\lg(2-x-2y)^2-\lg x=\lg\frac{(2-x-2y)^2}{x}. $$
Следовательно,
$$ x+4y=\frac{(2-x-2y)^2}{x}. $$
Умножим на $$x$$:
$$ x(x+4y)=(2-x-2y)^2. $$
После раскрытия скобок получаем:
$$ y^2-x-2y+1=0, $$
$$ x=(y-1)^2. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 8\cdot 2^{-(y-1)^2-2y}+2y^2=3\sqrt2. $$
Так как
$$ -(y-1)^2-2y=-y^2-1, $$
то
$$ 8\cdot 2^{-y^2-1}+2y^2=3\sqrt2, $$
$$ 2^{2-y^2}+2y^2=3\sqrt2. $$
Положим $$z=2^{y^2}$$. Тогда $$2^{2-y^2}=\dfrac{4}{z}$$, и получаем:
$$ \frac{4}{z}+z-3\sqrt2=0, $$
$$ z^2-3\sqrt2\,z+4=0. $$
$$ D=(3\sqrt2)^2-16=18-16=2. $$
$$ z_{1,2}=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{2}. $$
Отсюда
$$ z_1=\sqrt2,\qquad z_2=2\sqrt2. $$
1) $$2^{y^2}=\sqrt2=2^{1/2}$$, значит
$$ y^2=\frac12,\qquad y=\pm\frac1{\sqrt2}. $$
Тогда
$$ x=(y-1)^2=\frac32\mp\sqrt2. $$
2) $$2^{y^2}=2\sqrt2=2^{3/2}$$, значит
$$ y^2=\frac32,\qquad y=\pm\sqrt{\frac32}. $$
Тогда
$$ x=(y-1)^2=\frac52\mp\sqrt6. $$
С учётом области допустимых значений подходят точки
$$ \left(\frac32-\sqrt2;\frac1{\sqrt2}\right),\qquad \left(\frac32+\sqrt2;-\frac1{\sqrt2}\right). $$