Упр.1606 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1606. Решить систему уравнений:
1) $$\begin{cases} x-3y=-5, \\ \frac{x}{3y}-\frac{2y}{x}=-\frac{23}{6}; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{10}{3}, \\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x-3y=-5,\\ \dfrac{x}{3y}-\dfrac{2y}{x}=-\dfrac{23}{6}. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=3y-5.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\dfrac{3y-5}{3y}-\dfrac{2y}{3y-5}=-\dfrac{23}{6}.$$
Умножим обе части на $$18y(3y-5)$$:
$$6(3y-5)^2-36y^2+69y(3y-5)=0.$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$6(9y^2-30y+25)-36y^2+207y^2-345y=0,$$
$$54y^2-180y+150-36y^2+207y^2-345y=0,$$
$$225y^2-525y+150=0.$$
Разделим на $$75$$:
$$3y^2-7y+2=0.$$
Найдём корни:
$$D=49-24=25,$$
$$y_1=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac13,\qquad y_2=\dfrac{7+5}{6}=2.$$
Тогда
$$x_1=3\cdot\dfrac13-5=-4,\qquad x_2=3\cdot2-5=1.$$
Получаем решения: $$(-4;\dfrac13)$$ и $$(1;2)$$.
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{10}{3},\\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$
Область допустимых значений:
$$x-y\ne0,\qquad x+y\ne0.$$
Приведём левую часть первого уравнения к общему знаменателю:
$$\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{10}{3}.$$
Тогда
$$\dfrac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3}.$$
С учётом $$x^2+y^2=5$$ получаем:
$$\dfrac{2\cdot5}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3},$$
$$\dfrac{10}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3},$$
$$x^2-y^2=3.$$
Решим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x^2=8,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm2.$$
Тогда
$$y^2=5-4=1,\qquad y=\pm1.$$
Подходят все сочетания знаков:
$$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1).$$
Ответ
1) $$(1;2),\;(-4;\dfrac13).$$
2) $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1).$$
