Упр.1606 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1606
1) система
x-3y=-5,
x/3y — 2y/x=-23/6;
2) система
(x+y)/(x-y) + (x-y)/(x+y) =10/3,
x2+y2=5.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x-3y=-5,\\ \dfrac{x}{3y}-\dfrac{2y}{x}=-\dfrac{23}{6}. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x=3y-5.$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\ y\ne 0.$$
Подставим $$x=3y-5$$ во второе уравнение:
$$ \dfrac{3y-5}{3y}-\dfrac{2y}{3y-5}=-\dfrac{23}{6}. $$
Умножим на $$18y(3y-5)$$:
$$ 6(3y-5)^2-36y^2+69y(3y-5)=0. $$
Раскроем скобки и упростим:
$$ 54y^2-180y+150-36y^2+207y^2-345y=0, $$
$$ 225y^2-525y+150=0, $$
$$ 3y^2-7y+2=0. $$
Найдём корни:
$$ D=49-24=25, $$
$$ y_{1,2}=\dfrac{7\pm 5}{6}. $$
Тогда
$$y_1=2,\quad y_2=\dfrac13.$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
$$ x=3y-5. $$
При $$y=2$$: $$x=1$$.
При $$y=\dfrac13$$: $$x=-4$$.
Получаем решения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(-4;\dfrac13\right).$$
Решим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{10}{3},\\ x^2+y^2=5. \end{cases} $$
ОДЗ: $$x\ne y,\ x\ne -y.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$ \dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3}. $$
Так как
$$ (x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2), $$
то с учётом $$x^2+y^2=5$$ получаем:
$$ \dfrac{2\cdot 5}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3}. $$
Следовательно,
$$ \dfrac{10}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3}, $$
$$ x^2-y^2=3. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^2-y^2=3. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2. $$
Тогда
$$ y^2=5-4=1,\quad y=\pm 1. $$
С учётом условия $$x^2-y^2=3$$ знаки у $$x$$ и $$y$$ должны совпадать по модулю, поэтому получаем пары:
$$\left(2;1\right),\ \left(2;-1\right),\ \left(-2;1\right),\ \left(-2;-1\right).$$